A análise da partícula na caixa e do rotor rígido quântico se baseiam escrevendo
, que é idêntico para ambos os casos em três dimensões, i. e.,
onde
. Responda:
Por que é útil escrever o operador
como
no caso do rotor rígido, mas não para o caso da partícula na caixa?
Por que é útil escrever o operador
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada na questão que você trouxe! O exercício fala sobre o operador Hamiltoniano
, que também pode ser escrito como
. A pergunta principal é: Por que é útil escrever o operador
como
no caso do rotor rígido, mas não para o caso da partícula na caixa?
Vamos resolver isso passo a passo, entendendo os conceitos necessários.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são esses sistemas:
-
Partícula na Caixa: Imagine uma partícula confinada em uma “caixa” com paredes rígidas. Geralmente, essa caixa tem simetria retangular (ou cúbica), então é natural usar coordenadas cartesianas
para descrever o movimento da partícula. -
Rotor Rígido Quântico: Aqui, estamos lidando com uma partícula que está girando livremente em torno de um ponto fixo, como um planeta girando em torno do sol. Esse sistema tem simetria esférica, então faz mais sentido usar coordenadas esféricas
.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre o operador
. Esse operador é responsável por calcular derivadas espaciais e é diferente dependendo das coordenadas que estamos usando.
-
Coordenadas Cartesianas
: -
Coordenadas Esféricas
:
Passo 4
Então, por que mudar as coordenadas é útil para o rotor rígido?
No rotor rígido, como a simetria é esférica, usar coordenadas esféricas simplifica muito as equações. As derivadas parciais em
e
refletem as variações angulares, que são essenciais para descrever a rotação. Isso torna a resolução das equações de Schrödinger mais direta e matematicamente mais simples.
Já para a partícula na caixa, que tem paredes retas e simetria retangular, as coordenadas cartesianas são mais adequadas. Usar coordenadas esféricas aqui complicaria as coisas sem trazer benefícios, já que a geometria do problema não favorece essa escolha.
Passo 5
Basicamente, a escolha das coordenadas depende da simetria do sistema que estamos estudando. Usar o sistema de coordenadas que alinha com a simetria facilita as contas e a compreensão física do problema.
- Rotor Rígido: Simetria esférica → Coordenadas Esféricas
. - Partícula na Caixa: Simetria retangular → Coordenadas Cartesianas
.
Resposta
É útil escrever o operador
em coordenadas esféricas
para o rotor rígido porque a simetria esférica do sistema torna as equações mais simples e naturais de resolver. Para a partícula na caixa, que tem simetria retangular, as coordenadas cartesianas
são mais adequadas, já que usar coordenadas esféricas complicaria desnecessariamente as equações.