A análise da partícula na caixa e do rotor rígido quântico se baseiam escrevendo widehatH=P^22 m, que é idêntico para ambos os casos em três dimensões, i. e., widehatH=-hbar^22 m nabla^2 onde nabla^2=partial^2partial x^2+partial^2partial y^2+partial^2partial z^2. Responda:
Por que é útil escrever o operador nabla(x, y, z) como nabla(theta, phi, r) no caso do rotor rígido, mas não para o caso da partícula na caixa?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada na questão que você trouxe! O exercício fala sobre o operador Hamiltoniano widehatH = P^22 m, que também pode ser escrito como widehatH = -hbar^22 m nabla^2. A pergunta principal é: Por que é útil escrever o operador nabla(x, y, z) como nabla(theta, phi, r) no caso do rotor rígido, mas não para o caso da partícula na caixa?
Vamos resolver isso passo a passo, entendendo os conceitos necessários.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são esses sistemas:
  1. Partícula na Caixa: Imagine uma partícula confinada em uma “caixa” com paredes rígidas. Geralmente, essa caixa tem simetria retangular (ou cúbica), então é natural usar coordenadas cartesianas (x, y, z) para descrever o movimento da partícula.
  2. Rotor Rígido Quântico: Aqui, estamos lidando com uma partícula que está girando livremente em torno de um ponto fixo, como um planeta girando em torno do sol. Esse sistema tem simetria esférica, então faz mais sentido usar coordenadas esféricas (r, theta, phi).

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o operador nabla. Esse operador é responsável por calcular derivadas espaciais e é diferente dependendo das coordenadas que estamos usando.
  • Coordenadas Cartesianas (x, y, z):
    nabla^2 = partial^2partial x^2 + partial^2partial y^2 + partial^2partial z^2
  • Coordenadas Esféricas (r, theta, phi):
    nabla^2 = 1r^2 partialpartial r(r^2 partialpartial r) + 1r^2 sin theta partialpartial theta(sin theta partialpartial theta) + 1r^2 sin^2 theta partial^2partial phi^2

Passo 4

Então, por que mudar as coordenadas é útil para o rotor rígido?
No rotor rígido, como a simetria é esférica, usar coordenadas esféricas simplifica muito as equações. As derivadas parciais em theta e phi refletem as variações angulares, que são essenciais para descrever a rotação. Isso torna a resolução das equações de Schrödinger mais direta e matematicamente mais simples.
Já para a partícula na caixa, que tem paredes retas e simetria retangular, as coordenadas cartesianas são mais adequadas. Usar coordenadas esféricas aqui complicaria as coisas sem trazer benefícios, já que a geometria do problema não favorece essa escolha.

Passo 5

Basicamente, a escolha das coordenadas depende da simetria do sistema que estamos estudando. Usar o sistema de coordenadas que alinha com a simetria facilita as contas e a compreensão física do problema.
  • Rotor Rígido: Simetria esférica → Coordenadas Esféricas (r, theta, phi).
  • Partícula na Caixa: Simetria retangular → Coordenadas Cartesianas (x, y, z).

Resposta

É útil escrever o operador nabla em coordenadas esféricas (theta, phi, r) para o rotor rígido porque a simetria esférica do sistema torna as equações mais simples e naturais de resolver. Para a partícula na caixa, que tem simetria retangular, as coordenadas cartesianas (x, y, z) são mais adequadas, já que usar coordenadas esféricas complicaria desnecessariamente as equações.

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