Qual o valor esperado das observáveis
e
para o estado fundamental do oscilador harmônico? Você pode generalizar esses resultados para outros estados?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício está pedindo para a gente encontrar o valor esperado das observáveis $ x $ e $ P_x $ no estado fundamental do oscilador harmônico. Isso está dentro da área de Mecânica Quântica, especificamente tratando de operadores e estados. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular valores esperados e conhecer as funções de onda do estado fundamental.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o valor esperado de uma observável em um estado quântico nos dá o valor médio que esperaríamos ao medir essa observável várias vezes no mesmo estado. Matematicamente, para uma função de onda $ \psi $, o valor esperado de $ x $ é dado por:
E de forma similar para $ P_x $:
Passo 3
No estado fundamental do oscilador harmônico, a função de onda é simétrica e dada por:
Como essa função de onda é simétrica em relação a $ x = 0 $, ao calcular $ \langle x \rangle $, que envolve a multiplicação por $ x $ (uma função ímpar), o resultado será zero. Intuitivamente, isso faz sentido porque a distribuição de probabilidade está centrada em zero.
Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular $ \langle P_x \rangle $. Observando a expressão para o operador $ P_x $, vemos que ele envolve a derivada da função de onda. No estado fundamental, devido à simetria e à paridade da função de onda, a derivada também resulta em uma função ímpar. Integrando uma função ímpar sobre todos os reais também resulta em zero.
Portanto:
Passo 5
Para generalizar esses resultados para outros estados do oscilador harmônico, observamos que todos os estados estacionários (próprios) também possuem simetria par ou ímpar. Isso implica que, para qualquer estado próprio $ \psi_n(x) $, o valor esperado de $ x $ e $ P_x $ será zero, já que as funções envolvidas terão a simetria necessária para que as integrais sejam zero.
Resposta
No estado fundamental do oscilador harmônico, os valores esperados são $ \langle x \rangle = 0 $ e $ \langle P_x \rangle = 0 $. Essa propriedade pode ser generalizada para qualquer estado próprio do oscilador harmônico, onde os valores esperados de $ x $ e $ P_x $ também serão nulos.