Devido à grande diferença entre as massas dos átomos em uma molécula de ^1 H^127 I é apropriado pensar no movimento rotacional dessa molécula como no caso do átomo de ^1 H descrevendo uma órbita estacionária em torno do átomo de ^127 I, numa distância de 160pm (comprimento da ligação em equilíbrio).
Qual a frequência da luz que promove a transição de J=0 J=1 ?

Passo 1

Então, temos uma molécula de ^1 H^127 I onde o hidrogênio (H) é bem mais leve que o iodo (I). A gente precisa descobrir a frequência da luz que faz a molécula pular do estado rotacional J=0 para J=1. Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento rotacional das moléculas, especificamente o modelo de rotor rígido, e vamos precisar calcular o momento de inércia da molécula.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o momento de inércia. É uma medida de como a massa da molécula está distribuída em relação ao eixo de rotação. Para uma molécula diatômica como ^1 H^127 I, o momento de inércia ( I) é calculado pela fórmula:
I = mu r^2
onde mu é a massa reduzida e r é a distância entre os núcleos dos átomos.

Passo 3

A massa reduzida ( mu) é calculada usando as massas dos dois átomos:
mu = mH times mImH + mI
Sabendo que as massas atômicas do hidrogênio ( mH) são aproximadamente 1 u e do iodo ( mI) são 127 u, temos:
mu = 1 times 1271 + 127 = 127128 approx 0,992 , u
Convertendo unidades atômicas de massa para kg:
0,992 , u times 1,66054 times 10^-27 , kg/u approx 1,647 times 10^-27 , kg

Passo 4

Agora, usamos o valor da distância r = 160 , pm = 160 times 10^-12 , m para calcular o momento de inércia:
I = 1,647 times 10^-27 , kg times (160 times 10^-12 , m)^2
I = 1,647 times 10^-27 times 2,56 times 10^-20 , m^2
I approx 4,216 times 10^-47 , kg·m^2

Passo 5

Com o momento de inércia calculado, podemos determinar a constante rotacional ( B) usando:
B = h8 pi^2 c I
onde h é a constante de Planck ( 6,626 times 10^-34 , J·s) e c é a velocidade da luz ( 3,00 times 10^8 , m/s):
B = 6,626 times 10^-348 pi^2 times 3,00 times 10^8 times 4,216 times 10^-47
B approx 6,626 times 10^-341,005 times 10^-37 approx 6,58 times 10^3 , Hz

Passo 6

A frequência da transição rotacional de J=0 para J=1 é dada por:
nu = 2B(J + 1)
Para J=0:
nu = 2B(0 + 1) = 2B
Substituindo o valor de B:
nu = 2 times 6,58 times 10^3 , Hz approx 1,32 times 10^4 , Hz

Resposta

A frequência da luz que promove a transição de J=0 J=1 é aproximadamente 1,32 times 10^4 , Hz.

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