Analise o posto e a nulidade das matrizes envolvidas no sistema linear abaixo para determinar se ele é compatível e determinado ou indeterminado.
l 3 x1+4 x2-x3=1 4 x1+2 x2-8 x3=6 x1-2 x2-7 x3=5

Passo 1

Oi! Vamos resolver esse sistema de equações lineares juntos. Temos três equações com três incógnitas ( , e ). Nosso objetivo é analisar o posto e a nulidade das matrizes envolvidas para descobrir se o sistema tem uma única solução (é compatível e determinado) ou infinitas soluções (é compatível e indeterminado). Para isso, vamos precisar montar as matrizes do sistema e calcular seus postigos usando operações de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes A = 3 & 4 & -1 4 & 2 & -8 1 & -2 & -7 , [A|b] = 3 & 4 & -1 & | & 1 4 & 2 & -8 & | & 6 1 & -2 & -7 & | & 5 e a matriz aumentada do sistema:
A matriz dos coeficientes contém os números que multiplicam as incógnitas, e a matriz aumentada inclui os termos constantes das equações.

Passo 3

Agora, vamos calcular o posto da matriz A = 3 & 4 & -1 4 & 2 & -8 1 & -2 & -7 e da matriz aumentada L2' = 4 & 2 & -8 - 433 & 4 & -1 = 0 & -103 & -203 . O posto de uma matriz é o número máximo de linhas linearmente independentes. Para encontrar o posto, vamos transformar as matrizes em forma escalonada usando operações elementares de linha (como trocar linhas, multiplicar uma linha por um número diferente de zero, e somar múltiplos de uma linha a outra).
Começando com a matriz L3' = 1 & -2 & -7 - 133 & 4 & -1 = 0 & -103 & -203 :
A = 3 & 4 & -1 0 & -103 & -203 0 & -103 & -203
Passo 3.1: Vamos zerar o primeiro elemento da segunda e terceira linha usando a primeira linha.
  • Para a segunda linha: L3'' = 0 & -103 & -203 - 0 & -103 & -203 = 0 & 0 & 0
A = 3 & 4 & -1 0 & -103 & -203 0 & 0 & 0
  • Para a terceira linha:
Agora, a matriz fica assim:
Passo 3.2: Vamos zerar o elemento abaixo do pivô da segunda linha.
  • Subtraindo a segunda linha da terceira:
Agora, a matriz está na forma escalonada:
O posto da matriz é o número de linhas não nulas na forma escalonada, que aqui é 2.

Passo 4

Agora, vamos fazer o mesmo processo para a matriz aumentada [A|b] = 3 & 4 & -1 & | & 1 4 & 2 & -8 & | & 6 1 & -2 & -7 & | & 5 :
L2' = 4 & 2 & -8 & | & 6 - 433 & 4 & -1 & | & 1 = 0 & -103 & -203 & | & 143
Passo 4.1: Zerando os primeiros elementos das linhas 2 e 3 usando a linha 1.
  • Para a segunda linha: L3' = 1 & -2 & -7 & | & 5 - 133 & 4 & -1 & | & 1 = 0 & -103 & -203 & | & 143
[A|b] = 3 & 4 & -1 & | & 1 0 & -103 & -203 & | & 143 0 & -103 & -203 & | & 143
  • Para a terceira linha: L3'' = 0 & -103 & -203 & | & 143 - 0 & -103 & -203 & | & 143 = 0 & 0 & 0 & | & 0
[A|b] = 3 & 4 & -1 & | & 1 0 & -103 & -203 & | & 143 0 & 0 & 0 & | & 0
Agora, a matriz aumentada fica:
Passo 4.2: Zerando o elemento abaixo do pivô na segunda coluna.
  • Subtraindo a segunda linha da terceira:
Agora, a matriz aumentada está na forma escalonada:
O posto da matriz aumentada também é 2, pois há duas linhas não nulas.

Passo 5

Agora que temos os postigos das matrizes, vamos analisar:
  • Posto de : 2
  • Posto de : 2
  • Número de incógnitas: 3
De acordo com a teoria dos sistemas lineares:
  • Se posto = posto = número de incógnitas, o sistema é compatível e determinado (tem uma única solução).
  • Se posto = posto < número de incógnitas, o sistema é compatível e indeterminado (tem infinitas soluções).
  • Se posto < posto , o sistema é incompatível (não tem solução).
No nosso caso, posto = posto = 2, que é menor que o número de incógnitas (3). Portanto, o sistema é:

Resposta

O sistema é compatível e indeterminado, ou seja, possui infinitas soluções.

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