TRANSFORMAÇÕES LINEARES E NÚCLEO E IMAGEM
- Quais das transformações abaixo são lineares?
(a)
.
(b)
.
©
.
(d)
.
(e)
.
(f)
.
(g)
.
(h)
.
(i)
.
(j)
).
(k)
.
(l)
.
(m)
.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(m)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre Transformações Lineares! A questão pede para a gente identificar quais das transformações listadas são lineares. Pra isso, vamos lembrar que uma transformação
é linear se ela satisfaz duas propriedades:
- Aditividade:
para todos . - Homogeneidade:
para todo escalar e .
Vamos analisar cada transformação de (a) a (m) para ver quais satisfazem essas propriedades.
Passo 2
Transformação (a):
Primeiro, olhamos para os componentes. O segundo e terceiro componentes envolvidos exponenciais
e
. Exponenciais não respeitam a aditividade nem a homogeneidade. Por exemplo:
- Aditividade:
- Homogeneidade:
Então, essa transformação não é linear.
Passo 3
Transformação (b):
Aqui, o segundo componente é a constante 2. Uma transformação linear deve mapear o zero para o zero. Se colocarmos
, temos
. Além disso, a presença da constante 2 viola a homogeneidade. Portanto, essa transformação não é linear.
Passo 4
Transformação ©:
Vamos verificar as propriedades:
- Aditividade:
- Homogeneidade:
Como as duas propriedades são satisfeitas, essa transformação é linear.
Passo 5
Transformação (d):
para
Essa transformação pega a diagonal da matriz. Vamos verificar:
- Aditividade:
- Homogeneidade:
Ambas as propriedades são satisfeitas, então essa transformação é linear.
Passo 6
Transformação (e):
para
Vamos ver se satisfaz aditividade e homogeneidade:
- Aditividade:
(Devido ao ) - Homogeneidade:
(Novamente, o atrapalha)
Por causa do termo constante
, essa transformação não é linear.
Passo 7
Transformação (f):
para
Esse é o determinante de
. Vamos verificar:
- Aditividade:
Isso não é igual a porque há termos cruzados. - Homogeneidade:
Portanto, o determinante não é uma transformação linear.
Passo 8
Transformação (g):
para
Vamos verificar as propriedades:
- Aditividade:
- Homogeneidade:
Como ambas as propriedades são atendidas, essa transformação é linear.
Passo 9
Transformação (h):
Primeiro componente é o valor absoluto de
. Vamos checar:
- Aditividade:
- Homogeneidade:
(A menos que seja positivo)
Como não satisfaz as propriedades, essa transformação não é linear.
Passo 10
Transformação (i):
Vamos verificar as propriedades:
- Aditividade:
- Homogeneidade:
As duas propriedades são satisfeitas, então essa transformação é linear.
Passo 11
Transformação (j):
para
Vamos checar:
- Aditividade:
- Homogeneidade:
Como ambas as propriedades são atendidas, essa transformação é linear.
Passo 12
Transformação (k):
para
Vamos verificar as propriedades:
- Aditividade:
- Homogeneidade:
Como ambas as propriedades são satisfeitas, essa transformação é linear.
Passo 13
Transformação (l):
Vamos checar as propriedades:
- Aditividade:
- Homogeneidade:
Ambas as propriedades são atendidas, então essa transformação é linear.
Passo 14
Transformação (m):
para
Vamos verificar:
- Aditividade:
- Homogeneidade:
Como não satisfaz as propriedades, o determinante não é uma transformação linear.
Resposta
As transformações lineares são:
- ©
- (d)
- (g)
- (i)
- (j)
- (k)
- (l)