TRANSFORMAÇÕES LINEARES E NÚCLEO E IMAGEM

  1. Quais das transformações abaixo são lineares?
    (a) T: R^3 longrightarrow R^3, T(x, y, z)=(z, 2^y, 2^z).
    (b) T: R^3 longrightarrow R^3, T(x, y, z)=(3 x, 2,5 z).
    © T: R^4 longrightarrow R^3, T(x, y, z, w)=(x-w, y-w, x+z).
    (d) T: Mn times n(R) longrightarrow R^n, T(A)=(A11, A22, ldots, An n).
    (e) T: C^2(R) longrightarrow C(R), T(f)=3 f^prime prime-2 f^prime+1.
    (f) T: M2 times 2(R) longrightarrow R, T(A)=A11 A22-A21 A12.
    (g) T: C([a, b], R) longrightarrow R, T(f)=integrala^b f(x) d x.
    (h) T: R^2 longrightarrow R^2, T(x, y)=(|x|, 2 x+2 y).
    (i) T: P3(R) longrightarrow R^2, T(a0+a1 t+a2 t^2+a3 t^3)= (a3+a2-a1, a0).
    (j) T: M2 times 2(R) longrightarrow R^2, T(A)=(A11-A12, A11+ A12 ).
    (k) T: M2 times 2(R) longrightarrow R^3, T(A)=(A11-A12, A21+ A22, 2 A11-A21).
    (l) T: R^2 longrightarrow R^2, T(x, y)=(x+y, x-y).
    (m) T: M2 times 2(R) longrightarrow R, T(A)=det(A).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre Transformações Lineares! A questão pede para a gente identificar quais das transformações listadas são lineares. Pra isso, vamos lembrar que uma transformação é linear se ela satisfaz duas propriedades:
  1. Aditividade: para todos .
  2. Homogeneidade: para todo escalar e .
Vamos analisar cada transformação de (a) a (m) para ver quais satisfazem essas propriedades.

Passo 2

Transformação (a):
Primeiro, olhamos para os componentes. O segundo e terceiro componentes envolvidos exponenciais e . Exponenciais não respeitam a aditividade nem a homogeneidade. Por exemplo:
  • Aditividade:
  • Homogeneidade:
Então, essa transformação não é linear.

Passo 3

Transformação (b):
Aqui, o segundo componente é a constante 2. Uma transformação linear deve mapear o zero para o zero. Se colocarmos , temos . Além disso, a presença da constante 2 viola a homogeneidade. Portanto, essa transformação não é linear.

Passo 4

Transformação ©: T(u + v) = T((x1+x2, y1+y2, z1+z2, w1+w2)) = ((x1+x2)-(w1+w2), (y1+y2)-(w1+w2), (x1+x2)+(z1+z2))
Vamos verificar as propriedades:
  1. Aditividade: = (x1 - w1 + x2 - w2, y1 - w1 + y2 - w2, x1 + z1 + x2 + z2) = T(u) + T(v) T(cu) = T((cx, cy, cz, cw)) = (cx - cw, cy - cw, cx + cz) = c(x - w, y - w, x + z) = cT(u)
  2. Homogeneidade:
Como as duas propriedades são satisfeitas, essa transformação é linear.

Passo 5

Transformação (d): T(A + B) = (A11 + B11, A22 + B22, ldots, Ann + Bnn) = T(A) + T(B) para T(cA) = (cA11, cA22, ldots, cAnn) = c(A11, A22, ldots, Ann) = cT(A)
Essa transformação pega a diagonal da matriz. Vamos verificar:
  1. Aditividade:
  2. Homogeneidade:
Ambas as propriedades são satisfeitas, então essa transformação é linear.

Passo 6

Transformação (e): T(f + g) = 3(f + g)'' - 2(f + g)' + 1 = 3f'' + 3g'' - 2f' - 2g' + 1 neq T(f) + T(g) para T(cf) = 3(cf)'' - 2(cf)' + 1 = 3c f'' - 2c f' + 1 neq cT(f)
Vamos ver se satisfaz aditividade e homogeneidade:
  1. Aditividade: (Devido ao )
  2. Homogeneidade: (Novamente, o atrapalha)
Por causa do termo constante , essa transformação não é linear.

Passo 7

Transformação (f): T(A + B) = (A11 + B11)(A22 + B22) - (A21 + B21)(A12 + B12) para T(cA) = (cA11)(cA22) - (cA21)(cA12) = c^2(A11A22 - A21A12) neq cT(A)
Esse é o determinante de . Vamos verificar:
  1. Aditividade: Isso não é igual a porque há termos cruzados.
  2. Homogeneidade:
Portanto, o determinante não é uma transformação linear.

Passo 8

Transformação (g): T(f + g) = integrala^b (f(x) + g(x)) dx = integrala^b f(x) dx + integrala^b g(x) dx = T(f) + T(g) para T(cf) = integrala^b cf(x) dx = c integrala^b f(x) dx = cT(f)
Vamos verificar as propriedades:
  1. Aditividade:
  2. Homogeneidade:
Como ambas as propriedades são atendidas, essa transformação é linear.

Passo 9

Transformação (h): |x1 + x2| neq |x1| + |x2|
Primeiro componente é o valor absoluto de |c x| = |c| |x| neq c |x| . Vamos checar:
  1. Aditividade:
  2. Homogeneidade: (A menos que seja positivo)
Como não satisfaz as propriedades, essa transformação não é linear.

Passo 10

Transformação (i): T(p + q) = ( (a3 + c3) + (a2 + c2) - (a1 + c1), a0 + c0 ) = (a3 + a2 - a1, a0) + (c3 + c2 - c1, c0) = T(p) + T(q)
Vamos verificar as propriedades:
  1. Aditividade: T(cp) = (c a3 + c a2 - c a1, c a0) = c(a3 + a2 - a1, a0) = c T(p)
  2. Homogeneidade:
As duas propriedades são satisfeitas, então essa transformação é linear.

Passo 11

Transformação (j): T(A + B) = ((A11 + B11) - (A12 + B12), (A11 + B11) + (A12 + B12)) = (A11 - A12, A11 + A12) + (B11 - B12, B11 + B12)) = T(A) + T(B) para T(cA) = (cA11 - cA12, cA11 + cA12) = c(A11 - A12, A11 + A12) = cT(A)
Vamos checar:
  1. Aditividade:
  2. Homogeneidade:
Como ambas as propriedades são atendidas, essa transformação é linear.

Passo 12

Transformação (k): T(A + B) = ((A11 + B11) - (A12 + B12), (A21 + B21) + (A22 + B22), 2(A11 + B11) - (A21 + B21)) para = (A11 - A12, A21 + A22, 2A11 - A21) + (B11 - B12, B21 + B22, 2B11 - B21) ) = T(A) + T(B)
Vamos verificar as propriedades:
  1. Aditividade: T(cA) = (cA11 - cA12, cA21 + cA22, 2cA11 - cA21) = c(A11 - A12, A21 + A22, 2A11 - A21) = cT(A)
  2. Homogeneidade:
Como ambas as propriedades são satisfeitas, essa transformação é linear.

Passo 13

Transformação (l): T((x1 + x2, y1 + y2)) = ((x1 + x2) + (y1 + y2), (x1 + x2) - (y1 + y2)) = (x1 + y1, x1 - y1) + (x2 + y2, x2 - y2) = T(x1, y1) + T(x2, y2)
Vamos checar as propriedades:
  1. Aditividade: T(cx, cy) = (cx + cy, cx - cy) = c(x + y, x - y) = cT(x, y)
  2. Homogeneidade:
Ambas as propriedades são atendidas, então essa transformação é linear.

Passo 14

Transformação (m): det(A + B) neq det(A) + det(B) (em >=ral) para det(cA) = c^2 det(A) neq c det(A)
Vamos verificar:
  1. Aditividade:
  2. Homogeneidade:
Como não satisfaz as propriedades, o determinante não é uma transformação linear.

Resposta

As transformações lineares são:
  • ©
  • (d)
  • (g)
  • (i)
  • (j)
  • (k)
  • (l)

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