Verifique, em cada caso, se o conjunto W é um subespaço vetorial de R^3: W=(x, y, z) ; x=0

Passo 1

Vamos dar uma olhada no problema: precisamos verificar se o conjunto W = (x, y, z) ;|; x = 0 é um subespaço vetorial do espaço tridimensional R^3. Para isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e quais são as condições que ele deve satisfazer.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que um subespaço vetorial deve conter o vetor zero. O vetor zero em R^3 é (0, 0, 0). Vamos verificar se esse vetor está em W.
Como em W temos que x = 0, o vetor (0, 0, 0) satisfaz essa condição porque x = 0. Portanto, o vetor zero está em W.

Passo 3

Agora, vamos verificar se W é fechada em relação à adição de vetores. Isso significa que se tomarmos dois vetores quaisquer em W e somá-los, o resultado também deve estar em W.
Seja (0, y1, z1) e (0, y2, z2) dois vetores em W. A soma deles é:
(0 + 0, y1 + y2, z1 + z2) = (0, y1 + y2, z1 + z2)
Como o primeiro componente é 0, a soma também está em W. Logo, W é fechada em relação à adição.

Passo 4

Por fim, vamos verificar se W é fechada em relação à multiplicação por escalar. Isso significa que se multiplicarmos qualquer vetor em W por um número real qualquer, o resultado também deve estar em W.
Seja (0, y, z) um vetor em W e k um escalar real. A multiplicação por k dá:
k cdot (0, y, z) = (k cdot 0, k cdot y, k cdot z) = (0, k y, k z)
Como o primeiro componente continua sendo 0, o vetor resultante também está em W. Assim, W é fechada em relação à multiplicação por escalar.

Resposta

Como W contém o vetor zero, é fechada em relação à adição e à multiplicação por escalar, conclui-se que W é um subespaço vetorial de R^3.

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