Verifique, em cada caso, se o conjunto
é um subespaço vetorial de
:
Passo 1
Vamos dar uma olhada no problema: precisamos verificar se o conjunto
é um subespaço vetorial do espaço tridimensional
. Para isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e quais são as condições que ele deve satisfazer.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que um subespaço vetorial deve conter o vetor zero. O vetor zero em
é
. Vamos verificar se esse vetor está em
.
Como em
temos que
, o vetor
satisfaz essa condição porque
. Portanto, o vetor zero está em
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se
é fechada em relação à adição de vetores. Isso significa que se tomarmos dois vetores quaisquer em
e somá-los, o resultado também deve estar em
.
Seja
e
dois vetores em
. A soma deles é:
Como o primeiro componente é
, a soma também está em
. Logo,
é fechada em relação à adição.
Passo 4
Por fim, vamos verificar se
é fechada em relação à multiplicação por escalar. Isso significa que se multiplicarmos qualquer vetor em
por um número real qualquer, o resultado também deve estar em
.
Seja
um vetor em
e
um escalar real. A multiplicação por
dá:
Como o primeiro componente continua sendo
, o vetor resultante também está em
. Assim,
é fechada em relação à multiplicação por escalar.
Resposta
Como
contém o vetor zero, é fechada em relação à adição e à multiplicação por escalar, conclui-se que
é um subespaço vetorial de
.