Verifique, em cada caso, se o conjunto W é um subespaço vetorial de R^3: W=(x, y, z) ; x+y+z >= 0;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se o conjunto é um subespaço vetorial de . Isso está relacionado com a matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Para resolver, vamos precisar checar três coisas:
  1. Se o vetor zero está em .
  2. Se é fechada sob adição de vetores.
  3. Se é fechada sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se o vetor zero está em 0 + 0 + 0 = 0 >= 0 . O vetor zero em é . Substituindo na condição de :
Então, o vetor zero está em . Isso passa na primeira verificação.

Passo 3

Agora, vamos checar se x1 + y1 + z1 >= 0 e x2 + y2 + z2 >= 0 é fechada sob adição. Isso significa que se pegarmos dois vetores quaisquer em u + v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) , a soma deles também deve estar em (x1 + x2) + (y1 + y2) + (z1 + z2) = (x1 + y1 + z1) + (x2 + y2 + z2) >= 0 + 0 = 0 .
Sejam e em . Então:
Somando os dois vetores:
A soma das componentes:
Portanto, satisfaz a condição de , ou seja, é fechada sob adição.

Passo 4

Por último, vamos verificar se x + y + z >= 0 é fechada sob multiplicação por escalar. Isso quer dizer que se multiplicarmos qualquer vetor em cu = (cx, cy, cz) por um número real, o resultado também deve estar em cx + cy + cz = c(x + y + z) .
Seja em , então:
Multiplicando por um escalar :
A soma das componentes:
Agora, a condição para é que . Vamos analisar:
  • Se : Como , então .
  • Se : Mesmo que , o produto será menor ou igual a zero, o que ainda satisfaz a condição .
  • Se : O resultado será o vetor zero, que já verificamos que está em .
Parece que é fechada sob multiplicação por escalar, mas atenção! Vamos considerar um caso específico: se e , então , o que nao satisfaz . Isso mostra que nem todo escalar mantem o vetor na .

Resposta

Como não é fechada sob multiplicação por escalar para todos os números reais, concluímos que não é um subespaço vetorial de .

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