Verifique, em cada caso, se o conjunto
é um subespaço vetorial de
:
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se o conjunto
é um subespaço vetorial de
. Isso está relacionado com a matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Para resolver, vamos precisar checar três coisas:
- Se o vetor zero está em
. - Se
é fechada sob adição de vetores. - Se
é fechada sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se o vetor zero está em
. O vetor zero em
é
. Substituindo na condição de
:
Então, o vetor zero está em
. Isso passa na primeira verificação.
Passo 3
Agora, vamos checar se
é fechada sob adição. Isso significa que se pegarmos dois vetores quaisquer em
, a soma deles também deve estar em
.
Sejam
e
em
. Então:
Somando os dois vetores:
A soma das componentes:
Portanto,
satisfaz a condição de
, ou seja,
é fechada sob adição.
Passo 4
Por último, vamos verificar se
é fechada sob multiplicação por escalar. Isso quer dizer que se multiplicarmos qualquer vetor em
por um número real, o resultado também deve estar em
.
Seja
em
, então:
Multiplicando
por um escalar
:
A soma das componentes:
Agora, a condição para
é que
. Vamos analisar:
- Se
: Como , então . - Se
: Mesmo que , o produto será menor ou igual a zero, o que ainda satisfaz a condição . - Se
: O resultado será o vetor zero, que já verificamos que está em .
Parece que
é fechada sob multiplicação por escalar, mas atenção! Vamos considerar um caso específico: se
e
, então
, o que nao satisfaz
. Isso mostra que nem todo escalar mantem o vetor na
.
Resposta
Como
não é fechada sob multiplicação por escalar para todos os números reais, concluímos que
não é um subespaço vetorial de
.