Verifique, em cada caso, se o conjunto W é um subespaço vetorial de R^2: W=(x, y) ;-x+3 y=0;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que está na área de Álgebra Linear. O objetivo é verificar se o conjunto W = (x, y) in R^2 mid -x + 3y = 0 é um subespaço vetorial de R^2. Para isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e quais são as condições que ele deve satisfazer.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um conjunto W é chamado de subespaço de R^2 se ele satisfaz três condições:
  1. Contém o vetor zero: O vetor (0, 0) pertence a W.
  2. É fechado sob adição: Se u e v são vetores em W, então u + v também está em W.
  3. É fechado sob multiplicação por escalar: Se u é um vetor em W e c é um número real, então c cdot u também está em W.
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto W dado.

Passo 3

1. Verificando se o vetor zero está em W:
O vetor zero em R^2 é (0, 0). Vamos ver se ele satisfaz a equação -x + 3y = 0:
-0 + 3 cdot 0 = 0 implies 0 = 0
Como a igualdade é verdadeira, o vetor zero pertence a W.

Passo 4

2. Verificando a propriedade de fechamento sob adição:
Vamos considerar dois vetores quaisquer u = (x1, y1) e v = (x2, y2) em W. Isso significa que eles satisfazem:
-x1 + 3y1 = 0 e -x2 + 3y2 = 0
Queremos mostrar que a soma u + v = (x1 + x2, y1 + y2) também pertence a W. Vamos verificar:
-(x1 + x2) + 3(y1 + y2) = (-x1 + 3y1) + (-x2 + 3y2) = 0 + 0 = 0
Como a soma também satisfaz a equação, a propriedade de fechamento sob adição é válida.

Passo 5

3. Verificando a propriedade de fechamento sob multiplicação por escalar:
Vamos considerar um vetor u = (x, y) em W e um escalar c in R. Como u está em W, temos:
-x + 3y = 0
Queremos mostrar que o vetor c cdot u = (c x, c y) também está em W. Vamos verificar:
-(c x) + 3(c y) = c(-x + 3y) = c cdot 0 = 0
Portanto, a multiplicação por escalar também preserva a condição, garantindo que c cdot u in W.

Resposta

Como o conjunto W contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, concluímos que W é um subespaço vetorial de R^2.

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