Verifique, em cada caso, se o conjunto
é um subespaço vetorial de
:
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que está na área de Álgebra Linear. O objetivo é verificar se o conjunto
é um subespaço vetorial de
. Para isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e quais são as condições que ele deve satisfazer.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um conjunto
é chamado de subespaço de
se ele satisfaz três condições:
- Contém o vetor zero: O vetor
pertence a . - É fechado sob adição: Se
e são vetores em , então também está em . - É fechado sob multiplicação por escalar: Se
é um vetor em e é um número real, então também está em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto
dado.
Passo 3
1. Verificando se o vetor zero está em
:
O vetor zero em
é
. Vamos ver se ele satisfaz a equação
:
Como a igualdade é verdadeira, o vetor zero pertence a
.
Passo 4
2. Verificando a propriedade de fechamento sob adição:
Vamos considerar dois vetores quaisquer
e
em
. Isso significa que eles satisfazem:
Queremos mostrar que a soma
também pertence a
. Vamos verificar:
Como a soma também satisfaz a equação, a propriedade de fechamento sob adição é válida.
Passo 5
3. Verificando a propriedade de fechamento sob multiplicação por escalar:
Vamos considerar um vetor
em
e um escalar
. Como
está em
, temos:
Queremos mostrar que o vetor
também está em
. Vamos verificar:
Portanto, a multiplicação por escalar também preserva a condição, garantindo que
.
Resposta
Como o conjunto
contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, concluímos que
é um subespaço vetorial de
.