Analise o seguinte argumento segundo o qual toda matriz anti-simétrica tem determinante igual a zero: Tem-se , . Contraste com

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que essa questão tá pedindo. A gente tem um argumento que diz que toda matriz anti-simétrica tem determinante igual a zero. Pra analisar isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especialmente sobre matrizes anti-simétricas e determinantes. Vamos precisar entender o que é uma matriz anti-simétrica e como calcular o determinante delas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma matriz anti-simétrica. Uma matriz é anti-simétrica se, ao transpor ela, a gente obtiver o negativo da própria matriz. Isso é representado por:
Ou seja, se você trocar as linhas pelas colunas (transposição), cada elemento muda de sinal.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o determinante de uma matriz. O determinante é um número que a gente calcula a partir de uma matriz quadrada e que tem várias propriedades importantes. Uma delas é que o determinante da transposta de uma matriz é igual ao determinante da matriz original:
Além disso, se você multiplicar uma matriz por um escalar , o determinante da nova matriz é vezes o determinante da original, onde é a ordem da matriz.

Passo 4

Vamos agora analisar o argumento que afirma que toda matriz anti-simétrica tem determinante igual a zero. Começamos com a propriedade da matriz anti-simétrica:
Calculando o determinante dos dois lados:
Usando as propriedades que a gente discutiu:
Onde é a ordem da matriz. Se for ímpar, a gente tem:
Mas se for par, como no caso de uma matriz 2x2, o sinal não muda:
éí

Passo 5

Agora, vamos contrastar isso com a matriz dada:
Essa é uma matriz anti-simétrica de ordem 2 (par). Calculando o determinante:
Viu só? Mesmo sendo anti-simétrica, o determinante não é zero. Isso ocorre porque a ordem da matriz é par, e o argumento original que diz que todo determinante anti-simétrico é zero só vale para matrizes de ordem ímpar.

Resposta

Portanto, o argumento de que toda matriz anti-simétrica tem determinante igual a zero está incorreto quando a ordem da matriz é par. A matriz fornecida é anti-simétrica e de ordem 2, e seu determinante é 1, diferente de zero.

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