Analise o seguinte argumento segundo o qual toda matriz anti-simétrica tem determinante igual a zero: Tem-se a^top=-a, log 0 det a=det a^top=det(-a)=-det a, log o det a=0. Contraste com
det[cc 0 & -1 1 & 0 ]

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que essa questão tá pedindo. A gente tem um argumento que diz que toda matriz anti-simétrica tem determinante igual a zero. Pra analisar isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especialmente sobre matrizes anti-simétricas e determinantes. Vamos precisar entender o que é uma matriz anti-simétrica e como calcular o determinante delas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma matriz anti-simétrica. Uma matriz A é anti-simétrica se, ao transpor ela, a gente obtiver o negativo da própria matriz. Isso é representado por:
A^top = -A
Ou seja, se você trocar as linhas pelas colunas (transposição), cada elemento muda de sinal.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o determinante de uma matriz. O determinante é um número que a gente calcula a partir de uma matriz quadrada e que tem várias propriedades importantes. Uma delas é que o determinante da transposta de uma matriz é igual ao determinante da matriz original:
det(A^top) = det(A)
Além disso, se você multiplicar uma matriz por um escalar k, o determinante da nova matriz é k^n vezes o determinante da original, onde n é a ordem da matriz.

Passo 4

Vamos agora analisar o argumento que afirma que toda matriz anti-simétrica tem determinante igual a zero. Começamos com a propriedade da matriz anti-simétrica:
A^top = -A
Calculando o determinante dos dois lados:
det(A^top) = det(-A)
Usando as propriedades que a gente discutiu:
det(A) = (-1)^n det(A)
Onde n é a ordem da matriz. Se n for ímpar, a gente tem:
det(A) = -det(A) implies det(A) = 0
Mas se n for par, como no caso de uma matriz 2x2, o sinal não muda:
det(A) = det(A) implies Nada é concluído sobre o determinante éí

Passo 5

Agora, vamos contrastar isso com a matriz dada:
A = 0 & -1 1 & 0
Essa é uma matriz anti-simétrica de ordem 2 (par). Calculando o determinante:
det(A) = (0)(0) - (-1)(1) = 0 + 1 = 1
Viu só? Mesmo sendo anti-simétrica, o determinante não é zero. Isso ocorre porque a ordem da matriz é par, e o argumento original que diz que todo determinante anti-simétrico é zero só vale para matrizes de ordem ímpar.

Resposta

Portanto, o argumento de que toda matriz anti-simétrica tem determinante igual a zero está incorreto quando a ordem da matriz é par. A matriz fornecida é anti-simétrica e de ordem 2, e seu determinante é 1, diferente de zero.

Exercícios relacionados