Dada a matriz abaixo:
(A mid B)=(ccccc 1 & 0 & 1 & -2 & -1 2 & 1 & 0 & 2 & 1 0 & -1 & -1 & -1 & 1 1 & -1 & 1 & 0 & -1 1 & -2 & 0 & 1 & -1 )
Encontre o posto e a nulidade de A e de (A mid B) onde B corresponde à última coluna. Explique o que o posto e a nulidade significam neste contexto.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma matriz aumentada (A mid B) de tamanho 5 times 5, onde a última coluna B é a matriz que está depois da barra. Nosso objetivo é encontrar o posto e a nulidade de A e de (A mid B).
Ponto importante: O posto de uma matriz é o número máximo de colunas linearmente independentes que ela possui. Já a nulidade é a dimensão do espaço das soluções da equação homogênea A cdot x = 0. Para encontrar essas coisas, vamos precisar usar operações elementares de linha para reduzir a matriz a uma forma mais simples, geralmente a forma escalonada.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a matriz A e a matriz B na nossa matriz aumentada (A mid B). Aqui, A são as primeiras quatro colunas e B é a quinta coluna:
A = (cccc 1 & 0 & 1 & -2 2 & 1 & 0 & 2 0 & -1 & -1 & -1 1 & -1 & 1 & 0 1 & -2 & 0 & 1 ), B = (c -1 1 1 -1 -1 )

Passo 3

Vamos começar encontrando o posto de A. Para isso, vamos reduzir a matriz A a uma forma escalonada por linhas usando operações elementares.
Primeira matriz A:
(cccc 1 & 0 & 1 & -2 2 & 1 & 0 & 2 0 & -1 & -1 & -1 1 & -1 & 1 & 0 1 & -2 & 0 & 1 )
Operação 1: Vamos zerar os elementos abaixo do primeiro elemento da primeira coluna. Para isso:
  • Linha 2 = Linha 2 - 2 * Linha 1
  • Linha 4 = Linha 4 - Linha 1
  • Linha 5 = Linha 5 - Linha 1
Nova matriz:
(cccc 1 & 0 & 1 & -2 0 & 1 & -2 & 6 0 & -1 & -1 & -1 0 & -1 & 0 & 2 0 & -2 & -1 & 3 )

Passo 4

Operação 2: Agora, vamos zerar os elementos abaixo do segundo pivô, que está na posição (2,2).
  • Linha 3 = Linha 3 + Linha 2
  • Linha 4 = Linha 4 + Linha 2
  • Linha 5 = Linha 5 + 2 * Linha 2
Nova matriz:
(cccc 1 & 0 & 1 & -2 0 & 1 & -2 & 6 0 & 0 & -3 & 5 0 & 0 & -2 & 8 0 & 0 & -5 & 15 )

Passo 5

Operação 3: Agora, vamos lidar com a terceira coluna. Vamos simplificar as linhas 3, 4 e 5.
Podemos dividir a linha 3 por -3 para ter um pivô 1:
  • Linha 3 = (-1/3) * Linha 3
E então, vamos zerar os elementos abaixo desse pivô.
Nova matriz:
(cccc 1 & 0 & 1 & -2 0 & 1 & -2 & 6 0 & 0 & 1 & -53 0 & 0 & -2 & 8 0 & 0 & -5 & 15 )
Agora, zeramos abaixo do pivô na terceira coluna:
  • Linha 4 = Linha 4 + 2 * Linha 3
  • Linha 5 = Linha 5 + 5 * Linha 3
Matriz atualizada:
(cccc 1 & 0 & 1 & -2 0 & 1 & -2 & 6 0 & 0 & 1 & -53 0 & 0 & 0 & 143 0 & 0 & 0 & 103 )

Passo 6

Operação 4: Finalmente, vamos simplificar a quarta coluna.
Podemos dividir a linha 4 por 143 para ter um pivô 1:
  • Linha 4 = (3/14) * Linha 4
E então, zerar abaixo desse pivô:
  • Linha 5 = Linha 5 - (10/14) * Linha 4
Matriz final em forma escalonada:
(cccc 1 & 0 & 1 & -2 0 & 1 & -2 & 6 0 & 0 & 1 & -53 0 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 0 )

Passo 7

Agora que a matriz está em forma escalonada, podemos contar o número de pivôs (elementos não nulos que marcam o início de uma nova linha). Aqui, temos pivôs nas colunas 1, 2, 3 e 4. Portanto, o posto de A é 4.
Para encontrar a nulidade de A, usamos a relação:
Posto + Nulidade = n
Onde n é o número de colunas de A, que é 4.
Então:
4 + Nulidade = 4 Rightarrow Nulidade = 0

Passo 8

Agora, vamos analisar a matriz aumentada (A mid B). A matriz aumentada adiciona a coluna B ao final de A:
(A mid B) = (ccccc 1 & 0 & 1 & -2 & -1 2 & 1 & 0 & 2 & 1 0 & -1 & -1 & -1 & 1 1 & -1 & 1 & 0 & -1 1 & -2 & 0 & 1 & -1 )
Vamos seguir o mesmo processo de redução por linhas.

Passo 9

Operação 1: Zerar abaixo do primeiro pivô:
  • Linha 2 = Linha 2 - 2 * Linha 1
  • Linha 4 = Linha 4 - Linha 1
  • Linha 5 = Linha 5 - Linha 1
Nova matriz:
(ccccc 1 & 0 & 1 & -2 & -1 0 & 1 & -2 & 6 & 3 0 & -1 & -1 & -1 & 1 0 & -1 & 0 & 2 & 0 0 & -2 & -1 & 3 & 0 )

Passo 10

Operação 2: Zerar abaixo do segundo pivô:
  • Linha 3 = Linha 3 + Linha 2
  • Linha 4 = Linha 4 + Linha 2
  • Linha 5 = Linha 5 + 2 * Linha 2
Nova matriz:
(ccccc 1 & 0 & 1 & -2 & -1 0 & 1 & -2 & 6 & 3 0 & 0 & -3 & 5 & 4 0 & 0 & -2 & 8 & 3 0 & 0 & -5 & 15 & 6 )

Passo 11

Operação 3: Simplificar a terceira coluna:
  • Linha 3 = (-1/3) * Linha 3
  • Zerar abaixo do pivô na terceira coluna:
    • Linha 4 = Linha 4 + 2 * Linha 3
    • Linha 5 = Linha 5 + 5 * Linha 3
Matriz atualizada:
(ccccc 1 & 0 & 1 & -2 & -1 0 & 1 & -2 & 6 & 3 0 & 0 & 1 & -53 & -43 0 & 0 & 0 & 143 & 53 0 & 0 & 0 & 103 & 23 )

Passo 12

Operação 4: Simplificar a quarta coluna:
  • Linha 4 = (3/14) * Linha 4
  • Zerar abaixo do pivô na quarta coluna:
    • Linha 5 = Linha 5 - (10/14) * Linha 4
Matriz final em forma escalonada:
(ccccc 1 & 0 & 1 & -2 & -1 0 & 1 & -2 & 6 & 3 0 & 0 & 1 & -53 & -43 0 & 0 & 0 & 1 & 514 0 & 0 & 0 & 0 & 01 )

Passo 13

Contando os pivôs na matriz aumentada (A mid B), temos pivôs nas colunas 1, 2, 3 e 4. Portanto, o posto de (A mid B) é 4.
Agora, para encontrar a nulidade de (A mid B), usamos a relação:
Posto + Nulidade = n
Onde n é o número de colunas de (A mid B), que é 5.
Então:
4 + Nulidade = 5 Rightarrow Nulidade = 1

Resposta

  • Poto de A: 4
  • Nulidade de A: 0
  • Poto de (A mid B): 4
  • Nulidade de (A mid B): 1
Explicação: O posto indica o número de colunas linearmente independentes da matriz, mostrando quantas informações únicas ela contém. A nulidade mostra quantas soluções livres existem na equação associada. No caso de A, como a nulidade é 0, não há soluções não triviais para A cdot x = 0. Já para a matriz aumentada (A mid B), a nulidade 1 indica que existe pelo menos uma solução livre para a equação A cdot x = B.

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