Encontre o posto e a nulidade de A e de (A mid B) onde B corresponde à última coluna. Explique o que o posto e a nulidade significam neste contexto.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma matriz aumentada (A mid B) de tamanho 5 times 5, onde a última coluna B é a matriz que está depois da barra. Nosso objetivo é encontrar o posto e a nulidade de A e de (A mid B).
Ponto importante: O posto de uma matriz é o número máximo de colunas linearmente independentes que ela possui. Já a nulidade é a dimensão do espaço das soluções da equação homogênea A cdot x = 0. Para encontrar essas coisas, vamos precisar usar operações elementares de linha para reduzir a matriz a uma forma mais simples, geralmente a forma escalonada.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a matriz A e a matriz B na nossa matriz aumentada (A mid B). Aqui, A são as primeiras quatro colunas e B é a quinta coluna:
Agora que a matriz está em forma escalonada, podemos contar o número de pivôs (elementos não nulos que marcam o início de uma nova linha). Aqui, temos pivôs nas colunas 1, 2, 3 e 4. Portanto, o posto de A é 4.
Para encontrar a nulidade de A, usamos a relação:
Posto + Nulidade = n
Onde n é o número de colunas de A, que é 4.
Então:
4 + Nulidade = 4 Rightarrow Nulidade = 0
Passo 8
Agora, vamos analisar a matriz aumentada (A mid B). A matriz aumentada adiciona a coluna B ao final de A:
Contando os pivôs na matriz aumentada (A mid B), temos pivôs nas colunas 1, 2, 3 e 4. Portanto, o posto de (A mid B) é 4.
Agora, para encontrar a nulidade de (A mid B), usamos a relação:
Posto + Nulidade = n
Onde n é o número de colunas de (A mid B), que é 5.
Então:
4 + Nulidade = 5 Rightarrow Nulidade = 1
Resposta
Poto de A: 4
Nulidade de A: 0
Poto de (A mid B): 4
Nulidade de (A mid B): 1
Explicação: O posto indica o número de colunas linearmente independentes da matriz, mostrando quantas informações únicas ela contém. A nulidade mostra quantas soluções livres existem na equação associada. No caso de A, como a nulidade é 0, não há soluções não triviais para A cdot x = 0. Já para a matriz aumentada (A mid B), a nulidade 1 indica que existe pelo menos uma solução livre para a equação A cdot x = B.