Dada a matriz abaixo:
Encontre o posto e a nulidade de e de onde corresponde à última coluna. Explique o que o posto e a nulidade significam neste contexto.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma matriz aumentada de tamanho , onde a última coluna é a matriz que está depois da barra. Nosso objetivo é encontrar o posto e a nulidade de e de .
Ponto importante: O posto de uma matriz é o número máximo de colunas linearmente independentes que ela possui. Já a nulidade é a dimensão do espaço das soluções da equação homogênea . Para encontrar essas coisas, vamos precisar usar operações elementares de linha para reduzir a matriz a uma forma mais simples, geralmente a forma escalonada.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a matriz e a matriz na nossa matriz aumentada . Aqui, são as primeiras quatro colunas e é a quinta coluna:

Passo 3

Vamos começar encontrando o posto de . Para isso, vamos reduzir a matriz a uma forma escalonada por linhas usando operações elementares.
Primeira matriz :
Operação 1: Vamos zerar os elementos abaixo do primeiro elemento da primeira coluna. Para isso:
  • Linha 2 = Linha 2 - 2 * Linha 1
  • Linha 4 = Linha 4 - Linha 1
  • Linha 5 = Linha 5 - Linha 1
Nova matriz:

Passo 4

Operação 2: Agora, vamos zerar os elementos abaixo do segundo pivô, que está na posição (2,2).
  • Linha 3 = Linha 3 + Linha 2
  • Linha 4 = Linha 4 + Linha 2
  • Linha 5 = Linha 5 + 2 * Linha 2
Nova matriz:

Passo 5

Operação 3: Agora, vamos lidar com a terceira coluna. Vamos simplificar as linhas 3, 4 e 5.
Podemos dividir a linha 3 por -3 para ter um pivô 1:
  • Linha 3 = (-1/3) * Linha 3
E então, vamos zerar os elementos abaixo desse pivô.
Nova matriz:
Agora, zeramos abaixo do pivô na terceira coluna:
  • Linha 4 = Linha 4 + 2 * Linha 3
  • Linha 5 = Linha 5 + 5 * Linha 3
Matriz atualizada:

Passo 6

Operação 4: Finalmente, vamos simplificar a quarta coluna.
Podemos dividir a linha 4 por para ter um pivô 1:
  • Linha 4 = Linha 4
E então, zerar abaixo desse pivô:
  • Linha 5 = Linha 5 - * Linha 4
Matriz final em forma escalonada:

Passo 7

Agora que a matriz está em forma escalonada, podemos contar o número de pivôs (elementos não nulos que marcam o início de uma nova linha). Aqui, temos pivôs nas colunas 1, 2, 3 e 4. Portanto, o posto de é 4.
Para encontrar a nulidade de , usamos a relação:
Onde é o número de colunas de , que é 4.
Então:

Passo 8

Agora, vamos analisar a matriz aumentada . A matriz aumentada adiciona a coluna ao final de :
Vamos seguir o mesmo processo de redução por linhas.

Passo 9

Operação 1: Zerar abaixo do primeiro pivô:
  • Linha 2 = Linha 2 - 2 * Linha 1
  • Linha 4 = Linha 4 - Linha 1
  • Linha 5 = Linha 5 - Linha 1
Nova matriz:

Passo 10

Operação 2: Zerar abaixo do segundo pivô:
  • Linha 3 = Linha 3 + Linha 2
  • Linha 4 = Linha 4 + Linha 2
  • Linha 5 = Linha 5 + 2 * Linha 2
Nova matriz:

Passo 11

Operação 3: Simplificar a terceira coluna:
  • Linha 3 = * Linha 3
  • Zerar abaixo do pivô na terceira coluna:
    • Linha 4 = Linha 4 + 2 * Linha 3
    • Linha 5 = Linha 5 + 5 * Linha 3
Matriz atualizada:

Passo 12

Operação 4: Simplificar a quarta coluna:
  • Linha 4 = * Linha 4
  • Zerar abaixo do pivô na quarta coluna:
    • Linha 5 = Linha 5 - * Linha 4
Matriz final em forma escalonada:

Passo 13

Contando os pivôs na matriz aumentada , temos pivôs nas colunas 1, 2, 3 e 4. Portanto, o posto de é 4.
Agora, para encontrar a nulidade de , usamos a relação:
Onde é o número de colunas de , que é 5.
Então:

Resposta

  • Poto de : 4
  • Nulidade de : 0
  • Poto de : 4
  • Nulidade de : 1
Explicação: O posto indica o número de colunas linearmente independentes da matriz, mostrando quantas informações únicas ela contém. A nulidade mostra quantas soluções livres existem na equação associada. No caso de , como a nulidade é 0, não há soluções não triviais para . Já para a matriz aumentada , a nulidade 1 indica que existe pelo menos uma solução livre para a equação .

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