Calcule valor de , para que sistema
admita soluções distintas de .

Passo 1

Vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um sistema de três equações lineares:
Queremos encontrar o valor de para que esse sistema admita soluções diferentes de . Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre sistemas homogêneos e determinantes de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de uma matriz aumentada. A matriz dos coeficientes é:
Para que o sistema tenha soluções diferentes de , o determinante dessa matriz deve ser igual a zero. Isso porque, em sistemas homogêneos, uma única solução trivial existe apenas quando o determinante é diferente de zero.

Passo 3

Vamos calcular o determinante da matriz :
Usando a regra de Sarrus ou a expansão de cofatores, podemos calcular esse determinante. Vamos usar a expansão de cofatores pela primeira linha:

Passo 4

Agora, vamos calcular cada um dos menores (determinantes de 2x2):
  1. Primeiro menor:
  1. Segundo menor:
  1. Terceiro menor:

Passo 5

Substituindo os valores dos menores na expressão do determinante:

Passo 6

Para que o sistema tenha soluções diferentes de , o determinante deve ser zero:
Resolvendo para :

Resposta

O valor de que faz com que o sistema admita soluções distintas de é .

Exercícios relacionados

Analise o seguinte argumento segundo o qual toda matriz anti-simétrica tem determinante igual a zero: Tem-se , . Contraste com
Dado o sistema
a) Encontre uma solução dele sem resolvê-lo. (Atribua valores para e w.)
Dada a matriz abaixo:
Encontre o posto e a nulidade de e de onde corresponde à última coluna. Explique o que o posto e a nulidade significam neste contexto.
Dada a matriz abaixo:
Ela é inversível? Justifique!