Calcule valor de , para que sistema
admita soluções distintas de .
Passo 1
Vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um sistema de três equações lineares:
Queremos encontrar o valor de para que esse sistema admita soluções diferentes de . Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre sistemas homogêneos e determinantes de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de uma matriz aumentada. A matriz dos coeficientes é:
Para que o sistema tenha soluções diferentes de , o determinante dessa matriz deve ser igual a zero. Isso porque, em sistemas homogêneos, uma única solução trivial existe apenas quando o determinante é diferente de zero.
Passo 3
Vamos calcular o determinante da matriz :
Usando a regra de Sarrus ou a expansão de cofatores, podemos calcular esse determinante. Vamos usar a expansão de cofatores pela primeira linha:
Passo 4
Agora, vamos calcular cada um dos menores (determinantes de 2x2):
Primeiro menor:
Segundo menor:
Terceiro menor:
Passo 5
Substituindo os valores dos menores na expressão do determinante:
Passo 6
Para que o sistema tenha soluções diferentes de , o determinante deve ser zero:
Resolvendo para :
Resposta
O valor de que faz com que o sistema admita soluções distintas de é .