Calcule circ valor de lambda, para que circ sistema lx+y-lambda z=0 x+lambda y-z=0 x+(lambda+1) y+z=0
admita soluções distintas de (0,0,0).

Passo 1

Vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um sistema de três equações lineares:
x + y - lambda z = 0 x + lambda y - z = 0 x + (lambda + 1) y + z = 0
Queremos encontrar o valor de para que esse sistema admita soluções diferentes de . Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre sistemas homogêneos e determinantes de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de uma matriz aumentada. A matriz dos coeficientes é:
A = 1 & 1 & -lambda 1 & lambda & -1 1 & lambda + 1 & 1
Para que o sistema tenha soluções diferentes de , o determinante dessa matriz deve ser igual a zero. Isso porque, em sistemas homogêneos, uma única solução trivial existe apenas quando o determinante é diferente de zero.

Passo 3

Vamos calcular o determinante da matriz det(A) = 1 & 1 & -lambda 1 & lambda & -1 1 & lambda + 1 & 1 :
det(A) = 1 cdot lambda & -1 lambda + 1 & 1 - 1 cdot 1 & -1 1 & 1 + (-lambda) cdot 1 & lambda 1 & lambda + 1
Usando a regra de Sarrus ou a expansão de cofatores, podemos calcular esse determinante. Vamos usar a expansão de cofatores pela primeira linha:

Passo 4

Agora, vamos calcular cada um dos menores (determinantes de 2x2):
  1. Primeiro menor:
lambda & -1 lambda + 1 & 1 = lambda cdot 1 - (-1) cdot (lambda + 1) = lambda + lambda + 1 = 2lambda + 1
  1. Segundo menor:
1 & -1 1 & 1 = 1 cdot 1 - (-1) cdot 1 = 1 + 1 = 2
  1. Terceiro menor:
1 & lambda 1 & lambda + 1 = 1 cdot (lambda + 1) - lambda cdot 1 = lambda + 1 - lambda = 1

Passo 5

Substituindo os valores dos menores na expressão do determinante:
det(A) = 1 cdot (2lambda + 1) - 1 cdot 2 + (-lambda) cdot 1 = 2lambda + 1 - 2 - lambda = lambda - 1

Passo 6

Para que o sistema tenha soluções diferentes de lambda - 1 = 0 , o determinante deve ser zero:
lambda = 1
Resolvendo para :

Resposta

O valor de que faz com que o sistema admita soluções distintas de é .

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