Analise as seguintes afirmações, as quais tratam a respeito do teorema da Divergência:
I. Como o teorema da Divergência está relacionado ao cálculo de uma integral tripla, de funções de três variáveis, podemos empregar as mudanças para sistemas de coordenadas cilíndricas ou esféricas para adequar à região de integração.
II. No teorema da Divergência é necessário realizar o cálculo da integral de superfície, desde que a região seja parametrizada adequadamente.
III. O teorema da Divergência permite o cálculo do fluxo de um campo vetorial através de uma superfície, desde que o campo apresente funções componentes com derivadas parciais contínuas na região em estudo.
Em relação às afirmações apresentadas, assinale a alternativa correta:
A)
Apenas as afirmações II e III estão corretas.
B)
As afirmações I, II e III estão corretas.
C)
Apenas as afirmações I e II estão corretas.
D)
Apenas a afirmação III está correta.
E)
Apenas a afirmação I está correta.
Passo 1
Então, vamos lá! Temos um exercício que fala sobre o Teorema da Divergência, que é um conceito de Cálculo Vetorial. Esse teorema nos ajuda a relacionar integrais de superfície com integrais de volume. Para resolver esse exercício, vamos analisar cada uma das três afirmações sobre o teorema e ver quais estão corretas. Vamos precisar entender como aplicar o teorema e verificar se cada afirmação está de acordo com o que ele diz.
Passo 2
Afirmação I:“Como o teorema da Divergência está relacionado ao cálculo de uma integral tripla, de funções de três variáveis, podemos empregar as mudanças para sistemas de coordenadas cilíndricas ou esféricas para adequar à região de integração.”
Vamos analisar isso. O Teorema da Divergência envolve integrais de volume, que são integrais triplas. Quando a região de integração tem simetrias específicas, como cilíndricas ou esféricas, é super útil mudar para coordenadas que simplifiquem os cálculos. Por exemplo, se a região é uma esfera, usar coordenadas esféricas facilita bastante a integração. Então, essa afirmação está correta.
Passo 3
Afirmação II:“No teorema da Divergência é necessário realizar o cálculo da integral de superfície, desde que a região seja parametrizada adequadamente.”
O Teorema da Divergência relaciona a integral de volume do divergente de um campo vetorial com a integral de superfície do próprio campo vetorial através da fronteira desse volume. Isso significa que, de fato, precisamos calcular a integral de superfície, mas apenas se a região estiver bem parametrizada para aplicar o teorema corretamente. Portanto, essa afirmação também está correta.
Passo 4
Afirmação III:“O teorema da Divergência permite o cálculo do fluxo de um campo vetorial através de uma superfície, desde que o campo apresente funções componentes com derivadas parciais contínuas na região em estudo.”
O fluxo de um campo vetorial através de uma superfície é exatamente o que o Teorema da Divergência calcula. Além disso, para que o teorema seja aplicável, as componentes do campo vetorial precisam ter derivadas parciais contínuas na região considerada. Isso garante que o divergente esteja bem definido e que as integrais possam ser calculadas sem problemas. Então, essa afirmação também está correta.