Suponha que a equação: (ln y)^x+x cdot sen^2(3 x z)=-(x+1)^y z+2 x^2 Defina z como uma função de x e y. Calcule partial zpartial x(1, e, 0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação que relaciona as variáveis , e . O objetivo é encontrar a derivada parcial de em relação a no ponto específico . Para isso, vamos usar o conceito de derivadas implícitas, que é parte do cálculo diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação dada para deixar tudo certinho:
(ln y)^x + x cdot sin^2(3xz) = - (x+1)^y z + 2 x^2
Queremos tratar como uma função de e , ou seja, .

Passo 3

Agora, vamos aplicar a derivada parcial em ambos os lados da equação com relação a partialpartial x[ (ln y)^x + x cdot sin^2(3xz) ] = partialpartial x[ - (x+1)^y z + 2 x^2 ] . Lembrando que é tratada como constante aqui, já que estamos fazendo derivada parcial em :

Passo 4

Vamos derivar cada termo separadamente:
  1. Derivada de (ln y)^x cdot ln(ln y) em relação a sin^2(3xz) + x cdot 2sin(3xz)cos(3xz) cdot 3z + x cdot 2sin^2(3xz) cdot 3 partial zpartial x :
- (x+1)^y z cdot ( y zx+1 + y ln(x+1) cdot partial zpartial x )
  1. Derivada de 4x em relação a :
  1. Derivada de em relação a :
  1. Derivada de em relação a :

Passo 5

Vamos organizar tudo e isolar . Depois, substituímos os valores , e :
Após simplificar e substituir os valores, encontramos que a derivada parcial é igual a:

Resposta

partial zpartial x(1, e, 0) = - (ln e)^1 + sin^2(0) 0
No entanto, como o denominador é zero, a derivada parcial não está definida nesse ponto específico.

Exercícios relacionados