Considere a superfície definida por
em que
e
.
Para calcular a integral de superfície
podemos associá-la a uma integral dupla adequada relativa aos parâmetros u e v da superfície S .
Sendo
, assinale a alternativa que indica a associação correta entre a integral de superfície e a integral dupla correspondente que pode ser empregada em seu cálculo:
Dados: fórmulas
- Integrais de superfície
Anexo - Consulte a imagem em melhor resolução no final do cadernos de questões.
A)
A integral de superfície pode ser calculada por
B)
A integral de superfície pode ser calculada por
C)
A integral de superfície pode ser calculada por
D)
A integral de superfície pode ser calculada por
E)
A integral de superfície pode ser calculada por
Para calcular a integral de superfície
Sendo
Dados: fórmulas
A)
A integral de superfície pode ser calculada por
A integral de superfície pode ser calculada por
A integral de superfície pode ser calculada por
A integral de superfície pode ser calculada por
A integral de superfície pode ser calculada por
Passo 1
Vamos resolver um exercício que envolve cálculo de integrais de superfície. A questão nos dá uma superfície definida por uma função vetorial
e pede para associar uma integral de superfície a uma integral dupla em termos dos parâmetros
e
. Para isso, vamos usar a fórmula das integrais de superfície e aplicar os conceitos de parametrização e produto vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a parametrização da superfície:
Aqui,
,
e
. Os limites de
são de 0 a 1 e os de
são de 0 a 2.
Passo 3
A integral de superfície que queremos calcular é:
Para transformar essa integral de superfície em uma integral dupla, usamos a fórmula:
Sabemos que
.
Passo 4
Vamos substituir
,
e
na expressão
usando as parametrizações:
Passo 5
Agora, substituímos tudo na integral dupla:
Resposta
A alternativa correta é a E.
Exercícios relacionados
Suponha que a equação:
Defina
como uma função de
e
. Calcule
.
Analise as seguintes afirmações, as quais tratam a respeito do teorema da Divergência:
I. Como o teorema da Divergência está relacionado ao cálculo de uma integral tripla, de funções de três variáveis, podemos empregar as mudanças para sistemas de coordenadas cilíndricas ou esféricas para adequar à região de integração.
II. No teorema da Divergência é necessário realizar o cálculo da integral de superfície, desde que a região seja parametrizada adequadamente.
III. O teorema da Divergência permite o cálculo do fluxo de um campo vetorial através de uma superfície, desde que o campo apresente funções componentes com derivadas parciais contínuas na região em estudo.
Em relação às afirmações apresentadas, assinale a alternativa correta:
A)
Apenas as afirmações II e III estão corretas.
B)
As afirmações I, II e III estão corretas.
C)
Apenas as afirmações I e II estão corretas.
D)
Apenas a afirmação III está correta.
E)
Apenas a afirmação I está correta.
I. Como o teorema da Divergência está relacionado ao cálculo de uma integral tripla, de funções de três variáveis, podemos empregar as mudanças para sistemas de coordenadas cilíndricas ou esféricas para adequar à região de integração.
II. No teorema da Divergência é necessário realizar o cálculo da integral de superfície, desde que a região seja parametrizada adequadamente.
III. O teorema da Divergência permite o cálculo do fluxo de um campo vetorial através de uma superfície, desde que o campo apresente funções componentes com derivadas parciais contínuas na região em estudo.
Em relação às afirmações apresentadas, assinale a alternativa correta:
A)
Apenas as afirmações II e III estão corretas.
B)
As afirmações I, II e III estão corretas.
C)
Apenas as afirmações I e II estão corretas.
D)
Apenas a afirmação III está correta.
E)
Apenas a afirmação I está correta.
Classifique cada função como uma função potência, função raiz, função polinomial (estabeleça seu grau), função racional, função algébrica ou função trigonométrica.
(i)
(i)
Considere o campo vetorial no espaço tridimensional dado por:
Para calcular
é necessário parametrizar a curva C em questão.
Supondo que a curva C seja parametrizada na seguinte forma:
Supondo que a curva C seja parametrizada na seguinte forma:
com
, qual será o valor correto obtido por meio do cálculo da integral
, considerando o campo e a curva apresentados?
Dados: fórmulas
Dados: fórmulas
- Integrais de linha
*Lembre-se que é possível estender para o espaço cartesiano (tridimensional).
Anexo - Consulte a imagem em melhor resolução no final do cadernos de questões.
A)
O valor correto será aproximadamente 22,3.
B)
O valor correto será aproximadamente 19,7.
C)
O valor correto será aproximadamente 15,9.
D)
O valor correto será aproximadamente 5,3.
E)
Anexo - Consulte a imagem em melhor resolução no final do cadernos de questões.
A)
O valor correto será aproximadamente 22,3.
B)
O valor correto será aproximadamente 19,7.
C)
O valor correto será aproximadamente 15,9.
D)
O valor correto será aproximadamente 5,3.
E)