Considere a superfície definida por
r(u, v)=(1+u) i+2 v j+(u-v) k
em que 0 <= u <= 1 e 0 <= v <= 2.
Para calcular a integral de superfície
integral duplaS(2 x+y-z) d S
podemos associá-la a uma integral dupla adequada relativa aos parâmetros u e v da superfície S .
Sendo |ru times rv|=3, assinale a alternativa que indica a associação correta entre a integral de superfície e a integral dupla correspondente que pode ser empregada em seu cálculo:
Dados: fórmulas
  • Integrais de superfície
integral duplaS f(x, y, z) d S=integral duplaD f(r(u, v))|ru times rv| d A integral duplaS f(x, y, z) d S=integral duplaD f(x, y, g(x, y)) raiz(partial zpartial x)^2+(partial zpartial y)^2+1 d A integral duplaS F cdot d S=integral duplaD F(r(u, v)) cdot(ru times rv) d A
Anexo - Consulte a imagem em melhor resolução no final do cadernos de questões.
A)
A integral de superfície pode ser calculada por
integral duplaS(2 x+y-z) d S=integral0^1 integral0^2 3 d v d u
B)
A integral de superfície pode ser calculada por
& integral duplaS(2 x+y-z) d S & =3 integral0^1 integral0^2(u+v) d v d u
C)
A integral de superfície pode ser calculada por
& integral duplaS(2 x+y-z) d S & =3 integral0^1 integral0^2(2 u+v-2) d v d u
D)
A integral de superfície pode ser calculada por
& integral duplaS(2 x+y-z) d S & =integral0^1 integral0^2(3 u+3 v+2) d u d v
E)
A integral de superfície pode ser calculada por
& integral duplaS(2 x+y-z) d S & =3 integral0^1 integral0^2(u+3 v+2) d v d u

Passo 1

Vamos resolver um exercício que envolve cálculo de integrais de superfície. A questão nos dá uma superfície definida por uma função vetorial r(u, v) e pede para associar uma integral de superfície a uma integral dupla em termos dos parâmetros u e v. Para isso, vamos usar a fórmula das integrais de superfície e aplicar os conceitos de parametrização e produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a parametrização da superfície:
r(u, v) = (1+u) i + 2v j + (u - v) k
Aqui, x = 1 + u, y = 2v e z = u - v. Os limites de u são de 0 a 1 e os de v são de 0 a 2.

Passo 3

A integral de superfície que queremos calcular é:
integral duplaS(2x + y - z) , dS
Para transformar essa integral de superfície em uma integral dupla, usamos a fórmula:
integral duplaS f(x, y, z) , dS = integral duplaD f(r(u, v)) |ru times rv| , du , dv
Sabemos que |ru times rv| = 3.

Passo 4

Vamos substituir x, y e z na expressão 2x + y - z usando as parametrizações:
2x + y - z = 2(1 + u) + 2v - (u - v) = 2 + 2u + 2v - u + v = 2 + u + 3v

Passo 5

Agora, substituímos tudo na integral dupla:
integral duplaS(2x + y - z) , dS = 3 integral0^1 integral0^2 (2 + u + 3v) , dv , du

Resposta

A alternativa correta é a E.

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