Considere a superfície definida por
em que e .
Para calcular a integral de superfície
podemos associá-la a uma integral dupla adequada relativa aos parâmetros u e v da superfície S .
Sendo , assinale a alternativa que indica a associação correta entre a integral de superfície e a integral dupla correspondente que pode ser empregada em seu cálculo:
Dados: fórmulas
  • Integrais de superfície
Anexo - Consulte a imagem em melhor resolução no final do cadernos de questões.
A)
A integral de superfície pode ser calculada por
B)
A integral de superfície pode ser calculada por
C)
A integral de superfície pode ser calculada por
D)
A integral de superfície pode ser calculada por
E)
A integral de superfície pode ser calculada por

Passo 1

Vamos resolver um exercício que envolve cálculo de integrais de superfície. A questão nos dá uma superfície definida por uma função vetorial e pede para associar uma integral de superfície a uma integral dupla em termos dos parâmetros e . Para isso, vamos usar a fórmula das integrais de superfície e aplicar os conceitos de parametrização e produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a parametrização da superfície:
Aqui, , e . Os limites de são de 0 a 1 e os de são de 0 a 2.

Passo 3

A integral de superfície que queremos calcular é:
Para transformar essa integral de superfície em uma integral dupla, usamos a fórmula:
Sabemos que .

Passo 4

Vamos substituir , e na expressão usando as parametrizações:

Passo 5

Agora, substituímos tudo na integral dupla:

Resposta

A alternativa correta é a E.

Exercícios relacionados

Suponha que a equação: Defina como uma função de e . Calcule .
Analise as seguintes afirmações, as quais tratam a respeito do teorema da Divergência:
I. Como o teorema da Divergência está relacionado ao cálculo de uma integral tripla, de funções de três variáveis, podemos empregar as mudanças para sistemas de coordenadas cilíndricas ou esféricas para adequar à região de integração.
II. No teorema da Divergência é necessário realizar o cálculo da integral de superfície, desde que a região seja parametrizada adequadamente.
III. O teorema da Divergência permite o cálculo do fluxo de um campo vetorial através de uma superfície, desde que o campo apresente funções componentes com derivadas parciais contínuas na região em estudo.
Em relação às afirmações apresentadas, assinale a alternativa correta:
A)
Apenas as afirmações II e III estão corretas.
B)
As afirmações I, II e III estão corretas.
C)
Apenas as afirmações I e II estão corretas.
D)
Apenas a afirmação III está correta.
E)
Apenas a afirmação I está correta.
Classifique cada função como uma função potência, função raiz, função polinomial (estabeleça seu grau), função racional, função algébrica ou função trigonométrica.
(i)
Considere o campo vetorial no espaço tridimensional dado por:
Para calcular
é necessário parametrizar a curva C em questão.
Supondo que a curva C seja parametrizada na seguinte forma:
com , qual será o valor correto obtido por meio do cálculo da integral , considerando o campo e a curva apresentados?
Dados: fórmulas

- Integrais de linha

*Lembre-se que é possível estender para o espaço cartesiano (tridimensional).
Anexo - Consulte a imagem em melhor resolução no final do cadernos de questões.
A)
O valor correto será aproximadamente 22,3.
B)
O valor correto será aproximadamente 19,7.
C)
O valor correto será aproximadamente 15,9.
D)
O valor correto será aproximadamente 5,3.
E)