Considere a superfície definida por
em que
e
.
Para calcular a integral de superfície
podemos associá-la a uma integral dupla adequada relativa aos parâmetros u e v da superfície S .
Sendo
, assinale a alternativa que indica a associação correta entre a integral de superfície e a integral dupla correspondente que pode ser empregada em seu cálculo:
Dados: fórmulas
- Integrais de superfície
Anexo - Consulte a imagem em melhor resolução no final do cadernos de questões.
A)
A integral de superfície pode ser calculada por
B)
A integral de superfície pode ser calculada por
C)
A integral de superfície pode ser calculada por
D)
A integral de superfície pode ser calculada por
E)
A integral de superfície pode ser calculada por
Para calcular a integral de superfície
Sendo
Dados: fórmulas
A)
A integral de superfície pode ser calculada por
A integral de superfície pode ser calculada por
A integral de superfície pode ser calculada por
A integral de superfície pode ser calculada por
A integral de superfície pode ser calculada por
Passo 1
Vamos resolver um exercício que envolve cálculo de integrais de superfície. A questão nos dá uma superfície definida por uma função vetorial
e pede para associar uma integral de superfície a uma integral dupla em termos dos parâmetros
e
. Para isso, vamos usar a fórmula das integrais de superfície e aplicar os conceitos de parametrização e produto vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a parametrização da superfície:
Aqui,
,
e
. Os limites de
são de 0 a 1 e os de
são de 0 a 2.
Passo 3
A integral de superfície que queremos calcular é:
Para transformar essa integral de superfície em uma integral dupla, usamos a fórmula:
Sabemos que
.
Passo 4
Vamos substituir
,
e
na expressão
usando as parametrizações:
Passo 5
Agora, substituímos tudo na integral dupla:
Resposta
A alternativa correta é a E.