Suponha que determinado problema envolva o cálculo da integral
integralC F cdot d r
em que F(x, y, z)=(y+z) i+x j-y k, e a curva C é dada por
r(t)=t i+t^2 j+t k
com 0 <= t <= 1.
Para esse problema, qual a associação correta entre a integral de linha envolvendo F e C e uma integral definida relativa ao parâmetro t?

- Integrais de linha

r(t)=x(t) i+y(t) j, t in[a, b] integralC f(x, y) d s=integrala^b f(r(t))|r^prime(t)| d t=integrala^b f(x(t), y(t)) raiz(d xd t)^2+(d yd t)^2 d t r(t)=x(t) i+y(t) j, t in[a, b] integralC F cdot d r=integralC F(r(t)) cdot r^prime(t) d t
*Lembre-se que é possível estender para o espaço cartesiano (tridimensional).
A)
A associação correta é
integralC F cdot d r=integral0^1 t^5 d t
B)
A associação correta é
integralC F cdot d r=integral0^1(2 t^2+t) d t
C)
A associação correta é
integralC F cdot d r=integral0^1(x+z) d t
D)
A associação correta é
integralC F cdot d r=integral0^1 4(t^2-t) d t
E)
A associação correta é
integralC F cdot d r=integral0^1(2 t^4+4 t^6) d t

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular a integral de linha
integralC F cdot d r
onde o campo vetorial F(x, y, z)=(y+z) i+x j-y k e a curva C é dada por
r(t)=t i+t^2 j+t k
com 0 <= t <= 1. Vamos usar o conteúdo de integrais de linha e parametrização de curvas pra resolver isso. Precisamos expressar tudo em função de t e depois integrar de 0 a 1.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a derivada da curva r(t) em relação a t, ou seja, r'(t). Isso vai nos dar a velocidade da curva.
r'(t) = ddt(t i+t^2 j+t k) = 1 i + 2t j + 1 k

Passo 3

Agora, vamos substituir os componentes de r(t) na função F. Ou seja, vamos calcular F(r(t)).
Dado que F(x, y, z)=(y+z) i+x j-y k e r(t)=t i+t^2 j+t k, temos:
F(r(t)) = (t^2 + t) i + t j - t^2 k

Passo 4

Agora, precisamos calcular o produto escalar F(r(t)) cdot r'(t):
F(r(t)) cdot r'(t) = (t^2 + t)(1) + t(2t) + (-t^2)(1) = t^2 + t + 2t^2 - t^2 = 2t^2 + t

Passo 5

Finalmente, montamos a integral definida de t de 0 a 1 com o resultado do passo anterior:
integralC F cdot d r = integral0^1 (2t^2 + t) , dt

Resposta

A associação correta é a opção B:
integralC F cdot d r=integral0^1(2 t^2+t) d t

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