Suponha que determinado problema envolva o cálculo da integral
em que , e a curva é dada por
com .
Para esse problema, qual a associação correta entre a integral de linha envolvendo F e C e uma integral definida relativa ao parâmetro t?
- Integrais de linha
*Lembre-se que é possível estender para o espaço cartesiano (tridimensional).
A)
A associação correta é
integralC F cdot d r=integral0^1 t^5 d t
B)
A associação correta é
integralC F cdot d r=integral0^1(2 t^2+t) d t
C)
A associação correta é
integralC F cdot d r=integral0^1(x+z) d t
D)
A associação correta é
integralC F cdot d r=integral0^1 4(t^2-t) d t
E)
A associação correta é
integralC F cdot d r=integral0^1(2 t^4+4 t^6) d t
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular a integral de linha
integralC F cdot d r
onde o campo vetorial F(x, y, z)=(y+z) i+x j-y k e a curva C é dada por
r(t)=t i+t^2 j+t k
com 0 <= t <= 1. Vamos usar o conteúdo de integrais de linha e parametrização de curvas pra resolver isso. Precisamos expressar tudo em função de t e depois integrar de 0 a 1.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a derivada da curva r(t) em relação a t, ou seja, r'(t). Isso vai nos dar a velocidade da curva.
r'(t) = ddt(t i+t^2 j+t k) = 1 i + 2t j + 1 k
Passo 3
Agora, vamos substituir os componentes de r(t) na função F. Ou seja, vamos calcular F(r(t)).
Dado que F(x, y, z)=(y+z) i+x j-y k e r(t)=t i+t^2 j+t k, temos:
F(r(t)) = (t^2 + t) i + t j - t^2 k
Passo 4
Agora, precisamos calcular o produto escalar F(r(t)) cdot r'(t):