Suponha que determinado problema envolva o cálculo da integral
em que , e a curva é dada por
com .
Para esse problema, qual a associação correta entre a integral de linha envolvendo F e C e uma integral definida relativa ao parâmetro t?
- Integrais de linha
*Lembre-se que é possível estender para o espaço cartesiano (tridimensional).
A)
A associação correta é
B)
A associação correta é
C)
A associação correta é
D)
A associação correta é
E)
A associação correta é
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular a integral de linha
onde o campo vetorial e a curva é dada por
com . Vamos usar o conteúdo de integrais de linha e parametrização de curvas pra resolver isso. Precisamos expressar tudo em função de e depois integrar de a .
Passo 2
Primeiro, vamos achar a derivada da curva em relação a , ou seja, . Isso vai nos dar a velocidade da curva.
Passo 3
Agora, vamos substituir os componentes de na função . Ou seja, vamos calcular .
Dado que e , temos:
Passo 4
Agora, precisamos calcular o produto escalar :
Passo 5
Finalmente, montamos a integral definida de de a com o resultado do passo anterior: