Analise as seguintes integrais impróprias, indicando quando elas divergem e calculando-as, caso contrário:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente analisar a integral imprópria . Isso envolve cálculo de integrais que vão até o infinito, então precisamos verificar se a integral converge ou diverge. Para resolver isso, vamos usar técnicas de integração envolvendo funções exponenciais e trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a integral imprópria como um limite. Isso porque estamos integrando até . Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, precisamos calcular a integral definida . Para isso, vamos usar a técnica de integração por partes ou a fórmula para integrais de funções do tipo .
A fórmula é:
No nosso caso, e .

Passo 4

Aplicando a fórmula:
Agora, vamos avaliar essa antiderivada de até :
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite quando tende a :
Note que tende a 0 quando , e e são funções oscilatórias que permanecem entre -1 e 1. Portanto:
Então, a integral converge e o valor é:

Resposta

A integral converge e seu valor é .

Exercícios relacionados

Use o método das frações parciais para calcular as seguintes integrais:
Seja definida em e seja um real dado. Suponha que . Calcule
(a)
(b)
Analise as seguintes integrais impróprias, indicando quando elas divergem e calculando-as, caso contrário:
Use as substituições trigonométricas para calcular: