Analise as seguintes integrais impróprias, indicando quando elas divergem e calculando-as, caso contrário: integral-infty^0 e^x sin (2 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente analisar a integral imprópria . Isso envolve cálculo de integrais que vão até o infinito, então precisamos verificar se a integral converge ou diverge. Para resolver isso, vamos usar técnicas de integração envolvendo funções exponenciais e trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a integral imprópria como um limite. Isso porque estamos integrando até integral-infty^0 e^x sin (2x) , dx = lima to -infty integrala^0 e^x sin (2x) , dx . Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, precisamos calcular a integral definida integral e^ax sin(bx) , dx = e^axa^2 + b^2 (a sin(bx) - b cos(bx)) + C . Para isso, vamos usar a técnica de integração por partes ou a fórmula para integrais de funções do tipo .
A fórmula é:
No nosso caso, e .

Passo 4

Aplicando a fórmula:
integral e^x sin(2x) , dx = e^x1^2 + 2^2 (1 cdot sin(2x) - 2 cdot cos(2x)) + C = e^x5 (sin(2x) - 2cos(2x)) + C
Agora, vamos avaliar essa antiderivada de integrala^0 e^x sin(2x) , dx = [ e^x5 (sin(2x) - 2cos(2x)) ]a^0 = e^05 (sin(0) - 2cos(0)) - e^a5 (sin(2a) - 2cos(2a)) até = 15 (0 - 2 cdot 1) - e^a5 (sin(2a) - 2cos(2a)) = -25 - e^a5 (sin(2a) - 2cos(2a)) :
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite quando lima to -infty ( -25 - e^a5 (sin(2a) - 2cos(2a)) ) tende a lima to -infty e^a5 (sin(2a) - 2cos(2a)) = 0 :
-25 - 0 = -25
Note que tende a 0 quando , e e são funções oscilatórias que permanecem entre -1 e 1. Portanto:
Então, a integral converge e o valor é:

Resposta

A integral converge e seu valor é .

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