Analise as seguintes integrais impróprias, indicando quando elas divergem e calculando-as, caso contrário:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente analisar a integral imprópria
. Isso envolve cálculo de integrais que vão até o infinito, então precisamos verificar se a integral converge ou diverge. Para resolver isso, vamos usar técnicas de integração envolvendo funções exponenciais e trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a integral imprópria como um limite. Isso porque estamos integrando até
. Então, a integral fica:
Passo 3
Agora, precisamos calcular a integral definida
. Para isso, vamos usar a técnica de integração por partes ou a fórmula para integrais de funções do tipo
.
A fórmula é:
No nosso caso,
e
.
Passo 4
Aplicando a fórmula:
Agora, vamos avaliar essa antiderivada de
até
:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite quando
tende a
:
Note que
tende a 0 quando
, e
e
são funções oscilatórias que permanecem entre -1 e 1. Portanto:
Então, a integral converge e o valor é:
Resposta
A integral
converge e seu valor é
.
Exercícios relacionados
Use o método das frações parciais para calcular as seguintes integrais:
Seja
definida em
e seja
um real dado. Suponha que
. Calcule
(a)
(b)
(a)
(b)
Analise as seguintes integrais impróprias, indicando quando elas divergem e calculando-as, caso contrário:
Use as substituições trigonométricas para calcular: