Seja f definida em R e seja p um real dado. Suponha que lim x p f(x)-f(p)x-p=L. Calcule
(a) lim h 0 f(p+h)-f(p-h)h
(b) lim h 0 f(p+3 h)-f(p)h

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma função definida para todos os números reais e um ponto específico . Sabemos que o limite existe, o que nos indica que é a derivada de em , ou seja, .
Para resolver as partes (a) e (b) do exercício, vamos usar o conceito de derivada e propriedades dos limites.

Passo 2

Vamos resolver a parte (a):
limh 0 f(p+h) - f(p-h)h
Primeiro, vamos separar a fração:
f(p+h) - f(p-h)h = f(p+h) - f(p)h + f(p) - f(p-h)h

Passo 3

Agora, analisamos cada parte separadamente. Observamos que:
limh 0 f(p+h) - f(p)h = L
E para a segunda parte, fazemos uma substituição limh 0 f(p) - f(p-h)h = limh 0 f(p) - f(p-h)-h cdot (-1) = L :

Passo 4

Somando os dois limites encontrados:
L + L = 2L

Passo 5

Portanto, a resposta para a parte (a) é:
2L

Passo 6

Agora, vamos resolver a parte (b):
limh 0 f(p + 3h) - f(p)h
Podemos reescrever essa expressão multiplicando e dividindo por 3:
f(p + 3h) - f(p)h = 3 cdot f(p + 3h) - f(p)3h

Passo 7

Observamos que:
limh 0 f(p + 3h) - f(p)3h = L
Portanto:
3 cdot L = 3L

Passo 8

Assim, a resposta para a parte (b) é:
3L

Resposta

(a)
(b)

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