Use o método das frações parciais para calcular as seguintes integrais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral que pede para a gente usar o método das frações parciais. O enunciado é: calcular
. Aqui, a gente vai precisar saber sobre integrais, substituição e frações parciais. Vamos por partes para entender como chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos facilitar a expressão da integral fazendo uma substituição. Vamos deixar
. Então, a derivada de
em relação a
é
ou seja,
. Olha só, o
que está no numerador da integral vira simplesmente
, o que simplifica bastante a nossa expressão.
Passo 3
Agora, vamos substituir na integral original. Ficamos com:
Isso porque
e
. Então, a integral passa a ser em termos de
, o que facilita a aplicação das frações parciais.
Passo 4
Vamos simplificar o denominador
. Podemos fatorar
de fora:
Então, nossa integral fica:
Passo 5
Agora, aplicamos o método das frações parciais. Queremos escrever
como a soma de frações mais simples. Assumimos que:
Multiplicamos ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Passo 6
Agora, expandimos e agrupamos os termos:
Comparamos os coeficientes dos termos de ambos os lados da equação:
- Termo constante:
- Termo em
: - Termo em
:
Dessa forma, encontramos:
Passo 7
Substituímos os valores encontrados de
,
e
de volta na expressão das frações parciais:
Então, nossa integral fica:
Passo 8
Agora, integramos cada termo separadamente:
Então, a integral completa é:
Onde
é a constante de integração.
Passo 9
Voltando para a variável original
, lembramos que
. Substituindo de volta:
Passo 10
Como estamos avaliando uma integral definida de
a
, calculamos os valores nos limites e subtraímos:
Resposta
Após calcular, o valor da integral é:
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Seja
definida em
e seja
um real dado. Suponha que
. Calcule
(a)
(b)
(a)
(b)
Use o método das frações parciais para calcular as seguintes integrais:
Analise as seguintes integrais impróprias, indicando quando elas divergem e calculando-as, caso contrário:
Analise as seguintes integrais impróprias, indicando quando elas divergem e calculando-as, caso contrário: