Use o método das frações parciais para calcular as seguintes integrais:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que pede para a gente usar o método das frações parciais. O enunciado é: calcular . Aqui, a gente vai precisar saber sobre integrais, substituição e frações parciais. Vamos por partes para entender como chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos facilitar a expressão da integral fazendo uma substituição. Vamos deixar . Então, a derivada de em relação a é ou seja, . Olha só, o que está no numerador da integral vira simplesmente , o que simplifica bastante a nossa expressão.

Passo 3

Agora, vamos substituir na integral original. Ficamos com:
Isso porque e . Então, a integral passa a ser em termos de , o que facilita a aplicação das frações parciais.

Passo 4

Vamos simplificar o denominador . Podemos fatorar de fora:
Então, nossa integral fica:

Passo 5

Agora, aplicamos o método das frações parciais. Queremos escrever como a soma de frações mais simples. Assumimos que:
Multiplicamos ambos os lados por para eliminar os denominadores:

Passo 6

Agora, expandimos e agrupamos os termos:
Comparamos os coeficientes dos termos de ambos os lados da equação:
  • Termo constante:
  • Termo em :
  • Termo em :
Dessa forma, encontramos:

Passo 7

Substituímos os valores encontrados de , e de volta na expressão das frações parciais:
Então, nossa integral fica:

Passo 8

Agora, integramos cada termo separadamente:
Então, a integral completa é:
Onde é a constante de integração.

Passo 9

Voltando para a variável original , lembramos que . Substituindo de volta:

Passo 10

Como estamos avaliando uma integral definida de a , calculamos os valores nos limites e subtraímos:

Resposta

Após calcular, o valor da integral é:

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Seja definida em e seja um real dado. Suponha que . Calcule
(a)
(b)
Use o método das frações parciais para calcular as seguintes integrais:
Analise as seguintes integrais impróprias, indicando quando elas divergem e calculando-as, caso contrário:
Analise as seguintes integrais impróprias, indicando quando elas divergem e calculando-as, caso contrário: