Use o método das frações parciais para calcular as seguintes integrais: integralpi / 6^pi / 2 cos xsin x+sin ^3 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que pede para a gente usar o método das frações parciais. O enunciado é: calcular . Aqui, a gente vai precisar saber sobre integrais, substituição e frações parciais. Vamos por partes para entender como chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos facilitar a expressão da integral fazendo uma substituição. Vamos deixar . Então, a derivada de em relação a é ou seja, . Olha só, o que está no numerador da integral vira simplesmente , o que simplifica bastante a nossa expressão.

Passo 3

Agora, vamos substituir na integral original. Ficamos com:
integral duu + u^3
Isso porque e . Então, a integral passa a ser em termos de , o que facilita a aplicação das frações parciais.

Passo 4

Vamos simplificar o denominador u + u^3 = u(1 + u^2) . Podemos fatorar integral duu(1 + u^2) de fora:
Então, nossa integral fica:

Passo 5

Agora, aplicamos o método das frações parciais. Queremos escrever 1u(1 + u^2) = Au + Bu + C1 + u^2 como a soma de frações mais simples. Assumimos que:
1 = A(1 + u^2) + (Bu + C)u
Multiplicamos ambos os lados por para eliminar os denominadores:

Passo 6

Agora, expandimos e agrupamos os termos:
1 = A + Au^2 + Bu^2 + Cu
Comparamos os coeficientes dos termos de ambos os lados da equação:
  • Termo constante: A = 1, C = 0, B = -A = -1
  • Termo em :
  • Termo em :
Dessa forma, encontramos:

Passo 7

Substituímos os valores encontrados de 1u(1 + u^2) = 1u + -u1 + u^2 , integral ( 1u - u1 + u^2 ) du e de volta na expressão das frações parciais:
Então, nossa integral fica:

Passo 8

Agora, integramos cada termo separadamente:
integral 1u du = ln |u|
integral u1 + u^2 du = 12 ln |1 + u^2|
Então, a integral completa é:
ln |u| - 12 ln |1 + u^2| + C
Onde é a constante de integração.

Passo 9

Voltando para a variável original ln |sin x| - 12 ln |1 + sin^2 x| + C , lembramos que . Substituindo de volta:

Passo 10

Como estamos avaliando uma integral definida de [ ln (sin x) - 12 ln (1 + sin^2 x) ]pi/6^pi/2 a , calculamos os valores nos limites e subtraímos:

Resposta

Após calcular, o valor da integral é:
ln (1) - 12 ln (1 + 1) - [ ln ( 12 ) - 12 ln (1 + (12)^2) ] = ln 22

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