Use as substituições trigonométricas para calcular: integral x^2(x^2+9)^52 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver a integral . O conteúdo aqui é de integração usando substituições trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar entender como usar trigonometria para simplificar integrais que têm expressões quadráticas dentro delas. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição trigonométrica para simplificar a expressão dentro da integral. Observe que temos no denominador. Isso se parece com a identidade pitagórica . Então, vamos deixar .
Por quê? Porque assim, . Isso simplifica a raiz quadrada no denominador.

Passo 3

Agora, vamos calcular dx = 3 sec^2theta dtheta em termos de . Se , então derivando ambos os lados em relação a , temos:

Passo 4

Substituindo integral (3 tantheta)^2((3 tantheta)^2 + 9)^52 cdot 3 sec^2theta dtheta e integral 9 tan^2theta(9 tan^2theta + 9)^52 cdot 3 sec^2theta dtheta = integral 9 tan^2theta9^52 sec^5theta cdot 3 sec^2theta dtheta na integral original:
= integral 9 tan^2theta cdot 3 sec^2theta9^52 sec^5theta dtheta
Simplificando:

Passo 5

Vamos simplificar os coeficientes:
9 cdot 3 = 27
E integral 27 tan^2theta sec^2theta243 sec^5theta dtheta = 27243 integral tan^2theta sec^-3theta dtheta . Então:
19 integral tan^2theta sec^-3theta dtheta
Simplificando :

Passo 6

Agora, vamos lembrar que 19 integral (sec^2theta - 1) sec^-3theta dtheta = 19 integral (sec^-1theta - sec^-3theta) dtheta . Substituindo isso na integral:

Passo 7

Vamos separar a integral:
19 ( integral sec^-1theta dtheta - integral sec^-3theta dtheta )
Simplificando:
19 ( integral costheta dtheta - integral cos^3theta dtheta )

Passo 8

Resolvendo cada integral separadamente:
  1. integral costheta (1 - sin^2theta) dtheta = integral costheta dtheta - integral costheta sin^2theta dtheta
  2. integral du - integral u^2 du = u - u^33 + C = sintheta - sin^3theta3 + C :
Para resolver , usamos a identidade :
Substituindo , então :

Passo 9

Voltando às integrais originais:
19 ( sintheta - ( sintheta - sin^3theta3 ) ) = 19 ( sintheta - sintheta + sin^3theta3 ) = 127 sin^3theta + C

Passo 10

Agora, precisamos retornar para a variável original tantheta = x3 Rightarrow theta = tan^-1( x3 ) . Lembramos que fizemos sintheta = xraizx^2 + 9 , então:
sin^3theta = ( xraizx^2 + 9 )^3 = x^3(x^2 + 9)^32
E, usando o triângulo retângulo, temos:
Portanto:

Resposta

Então, a solução da integral é:
integral x^2(x^2+9)^52 dx = 127 cdot x^3(x^2 + 9)^32 + C
Onde é a constante de integração.

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