Use as substituições trigonométricas para calcular:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver a integral . O conteúdo aqui é de integração usando substituições trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar entender como usar trigonometria para simplificar integrais que têm expressões quadráticas dentro delas. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição trigonométrica para simplificar a expressão dentro da integral. Observe que temos no denominador. Isso se parece com a identidade pitagórica . Então, vamos deixar .
Por quê? Porque assim, . Isso simplifica a raiz quadrada no denominador.

Passo 3

Agora, vamos calcular em termos de . Se , então derivando ambos os lados em relação a , temos:

Passo 4

Substituindo e na integral original:
Simplificando:

Passo 5

Vamos simplificar os coeficientes:
E . Então:
Simplificando :

Passo 6

Agora, vamos lembrar que . Substituindo isso na integral:

Passo 7

Vamos separar a integral:
Simplificando:

Passo 8

Resolvendo cada integral separadamente:
  1. :
Para resolver , usamos a identidade :
Substituindo , então :

Passo 9

Voltando às integrais originais:

Passo 10

Agora, precisamos retornar para a variável original . Lembramos que fizemos , então:
E, usando o triângulo retângulo, temos:
Portanto:

Resposta

Então, a solução da integral é:
Onde é a constante de integração.

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Calcule