Use as substituições trigonométricas para calcular:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver a integral
. O conteúdo aqui é de integração usando substituições trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar entender como usar trigonometria para simplificar integrais que têm expressões quadráticas dentro delas. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição trigonométrica para simplificar a expressão dentro da integral. Observe que temos
no denominador. Isso se parece com a identidade pitagórica
. Então, vamos deixar
.
Por quê? Porque assim,
. Isso simplifica a raiz quadrada no denominador.
Passo 3
Agora, vamos calcular
em termos de
. Se
, então derivando ambos os lados em relação a
, temos:
Passo 4
Substituindo
e
na integral original:
Simplificando:
Passo 5
Vamos simplificar os coeficientes:
E
. Então:
Simplificando
:
Passo 6
Agora, vamos lembrar que
. Substituindo isso na integral:
Passo 7
Vamos separar a integral:
Simplificando:
Passo 8
Resolvendo cada integral separadamente:
-
-
:
Para resolver
, usamos a identidade
:
Substituindo
, então
:
Passo 9
Voltando às integrais originais:
Passo 10
Agora, precisamos retornar para a variável original
. Lembramos que fizemos
, então:
E, usando o triângulo retângulo, temos:
Portanto:
Resposta
Então, a solução da integral é:
Onde
é a constante de integração.
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