Analise as seguintes integrais impróprias, indicando quando elas divergem e calculando-as, caso contrário:

Passo 1

Então, a gente tem uma integral imprópria pra analisar: . Isso aqui envolve o conteúdo de integrais impróprias, que são integrais onde a função que estamos integrando não é bem comportada em algum ponto do intervalo de integração. A gente vai precisar saber como lidar com limites para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar por que essa integral é imprópria. Olhando a função , vemos que ela tem um ponto problemático quando , ou seja, quando . Nesse ponto, a função tende ao infinito, o que faz com que a integral seja imprópria.

Passo 3

Para resolver essa integral imprópria, a gente transforma a integral definida em um limite. Isso significa que a gente vai ‘aproximar’ o ponto problemático e ver o que acontece. Então, reescrevemos a integral como:
Aqui, está se aproximando de 1 por valores maiores que 1.

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral . A antiderivada de é . Então, aplicando o teorema fundamental do cálculo:
Simplificando os valores absolutos:
Sabemos que , então:

Passo 5

Agora, precisamos avaliar o limite quando se aproxima de 1 por valores maiores que 1:
À medida que se aproxima de 1, se aproxima de 0 pelo lado positivo, então tende a .

Resposta

Como o limite tende a , a integral diverge.

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Use o método das frações parciais para calcular as seguintes integrais:
Use as substituições trigonométricas para calcular:
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