Analise as seguintes integrais impróprias, indicando quando elas divergem e calculando-as, caso contrário:
Passo 1
Então, a gente tem uma integral imprópria pra analisar:
. Isso aqui envolve o conteúdo de integrais impróprias, que são integrais onde a função que estamos integrando não é bem comportada em algum ponto do intervalo de integração. A gente vai precisar saber como lidar com limites para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar por que essa integral é imprópria. Olhando a função
, vemos que ela tem um ponto problemático quando
, ou seja, quando
. Nesse ponto, a função tende ao infinito, o que faz com que a integral seja imprópria.
Passo 3
Para resolver essa integral imprópria, a gente transforma a integral definida em um limite. Isso significa que a gente vai ‘aproximar’ o ponto problemático e ver o que acontece. Então, reescrevemos a integral como:
Aqui,
está se aproximando de 1 por valores maiores que 1.
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral
. A antiderivada de
é
. Então, aplicando o teorema fundamental do cálculo:
Simplificando os valores absolutos:
Sabemos que
, então:
Passo 5
Agora, precisamos avaliar o limite quando
se aproxima de 1 por valores maiores que 1:
À medida que
se aproxima de 1,
se aproxima de 0 pelo lado positivo, então
tende a
.
Resposta
Como o limite tende a
, a integral
diverge.
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