Analise as seguintes integrais impróprias, indicando quando elas divergem e calculando-as, caso contrário:

Passo 1

Beleza, vamos analisar a integral imprópria que você me mandou: . O conteúdo aqui envolve cálculo de integrais impróprias, especificamente determinando se a integral converge ou diverge e, se convergir, calculando seu valor. Para resolver isso, vamos precisar saber sobre integrais de funções racionais e conhecer um pouco sobre limites no cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que estamos integrando: . Essa função é simétrica em relação ao eixo y porque é uma função par. Além disso, para valores de que vão para mais ou menos infinito, se aproxima de zero, o que é um bom sinal para a convergência da integral.

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral de , onde é uma constante. Sabemos que:
No nosso caso, , então . Vamos aplicar essa fórmula à nossa integral.

Passo 4

Aplicando os limites de a , temos:
Vamos calcular os limites:
  • Quando tende a , tende a .
  • Quando tende a , tende a .
Subtraindo esses valores:

Resposta

A integral converge e seu valor é .

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