Use o método das frações parciais para calcular as seguintes integrais:

Passo 1

Vamos resumir o que a questão pede: precisamos calcular a integral de em relação a . Para resolver isso, vamos usar o método das frações parciais, que nos ajuda a decompor funções racionais em frações mais simples, facilitando a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar a função original como uma soma de frações parciais. Como o denominador é , que tem fatores lineares repetidos, assumimos a seguinte forma:

Passo 3

Agora, multiplicamos ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:

Passo 4

Vamos simplificar essa equação expandindo os termos:
Agora, agrupamos os termos semelhantes:

Passo 5

Para que a equação seja verdadeira para todo valor de , os coeficientes dos termos de cada potência de devem ser iguais em ambos os lados. Assim, temos o seguinte sistema de equações:
  1. (coeficiente de )
  2. (coeficiente de )
  3. (coeficiente de )
  4. (termo constante)
Sabendo que , podemos substituir nas outras equações:
  • Da equação 3:
  • Da equação 1:
  • Da equação 2:

Resposta

Com os valores encontrados, a decomposição em frações parciais fica:
Agora, integramos cada termo separadamente:
Integrando cada parte:
Onde é a constante de integração.

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Calcule
Use as substituições trigonométricas para calcular:
Use o método das frações parciais para calcular as seguintes integrais:
Analise as seguintes integrais impróprias, indicando quando elas divergem e calculando-as, caso contrário: