Use o método das frações parciais para calcular as seguintes integrais:
Passo 1
Vamos resumir o que a questão pede: precisamos calcular a integral de
em relação a
. Para resolver isso, vamos usar o método das frações parciais, que nos ajuda a decompor funções racionais em frações mais simples, facilitando a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar a função original como uma soma de frações parciais. Como o denominador é
, que tem fatores lineares repetidos, assumimos a seguinte forma:
Passo 3
Agora, multiplicamos ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores:
Passo 4
Vamos simplificar essa equação expandindo os termos:
Agora, agrupamos os termos semelhantes:
Passo 5
Para que a equação seja verdadeira para todo valor de
, os coeficientes dos termos de cada potência de
devem ser iguais em ambos os lados. Assim, temos o seguinte sistema de equações:
-
(coeficiente de ) -
(coeficiente de ) -
(coeficiente de ) -
(termo constante)
Sabendo que
, podemos substituir nas outras equações:
- Da equação 3:
→ - Da equação 1:
→ - Da equação 2:
→ →
Resposta
Com os valores encontrados, a decomposição em frações parciais fica:
Agora, integramos cada termo separadamente:
Integrando cada parte:
Onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Calcule
Use as substituições trigonométricas para calcular:
Use o método das frações parciais para calcular as seguintes integrais:
Analise as seguintes integrais impróprias, indicando quando elas divergem e calculando-as, caso contrário: