Use o método das frações parciais para calcular as seguintes integrais: integral 1x^2(x+1)^2 d x

Passo 1

Vamos resumir o que a questão pede: precisamos calcular a integral de 1x^2(x+1)^2 em relação a x. Para resolver isso, vamos usar o método das frações parciais, que nos ajuda a decompor funções racionais em frações mais simples, facilitando a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar a função original como uma soma de frações parciais. Como o denominador é x^2(x+1)^2, que tem fatores lineares repetidos, assumimos a seguinte forma:
1x^2(x+1)^2 = Ax + Bx^2 + Cx+1 + D(x+1)^2

Passo 3

Agora, multiplicamos ambos os lados da equação por x^2(x+1)^2 para eliminar os denominadores:
1 = A cdot x cdot (x+1)^2 + B cdot (x+1)^2 + C cdot x^2 cdot (x+1) + D cdot x^2

Passo 4

Vamos simplificar essa equação expandindo os termos:
1 = A x (x^2 + 2x + 1) + B (x^2 + 2x + 1) + C x^2 (x + 1) + D x^2
1 = A x^3 + 2A x^2 + A x + B x^2 + 2B x + B + C x^3 + C x^2 + D x^2
Agora, agrupamos os termos semelhantes:
1 = (A + C) x^3 + (2A + B + C + D) x^2 + (A + 2B) x + B

Passo 5

Para que a equação seja verdadeira para todo valor de x, os coeficientes dos termos de cada potência de x devem ser iguais em ambos os lados. Assim, temos o seguinte sistema de equações:
  1. A + C = 0 (coeficiente de x^3)
  2. 2A + B + C + D = 0 (coeficiente de x^2)
  3. A + 2B = 0 (coeficiente de x)
  4. B = 1 (termo constante)
Sabendo que B = 1, podemos substituir nas outras equações:
  • Da equação 3: A + 2(1) = 0 A = -2
  • Da equação 1: -2 + C = 0 C = 2
  • Da equação 2: 2(-2) + 1 + 2 + D = 0 -4 + 1 + 2 + D = 0 D = 1

Resposta

Com os valores encontrados, a decomposição em frações parciais fica:
1x^2(x+1)^2 = -2x + 1x^2 + 2x+1 + 1(x+1)^2
Agora, integramos cada termo separadamente:
integral 1x^2(x+1)^2 , dx = integral ( -2x + 1x^2 + 2x+1 + 1(x+1)^2 ) dx
Integrando cada parte:
= -2 ln|x| - 1x + 2 ln|x+1| - 1x+1 + C
Onde C é a constante de integração.

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