Analise as seguintes integrais impróprias, indicando quando elas divergem e calculando-as, caso contrário: integral0^infty e^-a x d x, a>0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar a integral imprópria onde . Isso envolve entender o que é uma integral imprópria, verificar se ela converge (ou seja, tem um valor finito) ou diverge, e se convergir, calcular esse valor. Para resolver isso, vamos precisar do conceito de limites e das propriedades das funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma integral imprópria. É uma integral onde pelo menos um dos limites de integração é infinito ou onde a função a ser integrada tem alguma descontinuidade no intervalo de integração. No nosso caso, o limite superior é , então é uma integral imprópria por esse motivo.

Passo 3

Para resolver integral0^infty e^-a x , dx = limb to infty integral0^b e^-a x , dx , vamos reescrever essa integral como um limite:
Isso facilita o cálculo, pois agora temos um limite finito.

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral definida integral0^b e^-a x , dx = [ -1a e^-a x ]0^b = -1a e^-a b - ( -1a e^0 ) . A antiderivada de -1a e^-a b + 1a = 1a (1 - e^-a b) é . Então:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos aplicar o limite conforme limb to infty 1a (1 - e^-a b) tende ao infinito:
1a (1 - 0) = 1a
Sabemos que tende a 0 quando vai para , já que . Então:
Isso mostra que a integral converge para .

Resposta

A integral converge e seu valor é .

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