Analise as seguintes integrais impróprias, indicando quando elas divergem e calculando-as, caso contrário:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar a integral imprópria
onde
. Isso envolve entender o que é uma integral imprópria, verificar se ela converge (ou seja, tem um valor finito) ou diverge, e se convergir, calcular esse valor. Para resolver isso, vamos precisar do conceito de limites e das propriedades das funções exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma integral imprópria. É uma integral onde pelo menos um dos limites de integração é infinito ou onde a função a ser integrada tem alguma descontinuidade no intervalo de integração. No nosso caso, o limite superior é
, então é uma integral imprópria por esse motivo.
Passo 3
Para resolver
, vamos reescrever essa integral como um limite:
Isso facilita o cálculo, pois agora temos um limite finito.
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral definida
. A antiderivada de
é
. Então:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos aplicar o limite conforme
tende ao infinito:
Sabemos que
tende a 0 quando
vai para
, já que
. Então:
Isso mostra que a integral converge para
.
Resposta
A integral
converge e seu valor é
.
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no intervalo dado.
(b)
(b)
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(f)
(f)