Analise as seguintes integrais impróprias, indicando quando elas divergem e calculando-as, caso contrário:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar a integral imprópria onde . Isso envolve entender o que é uma integral imprópria, verificar se ela converge (ou seja, tem um valor finito) ou diverge, e se convergir, calcular esse valor. Para resolver isso, vamos precisar do conceito de limites e das propriedades das funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma integral imprópria. É uma integral onde pelo menos um dos limites de integração é infinito ou onde a função a ser integrada tem alguma descontinuidade no intervalo de integração. No nosso caso, o limite superior é , então é uma integral imprópria por esse motivo.

Passo 3

Para resolver , vamos reescrever essa integral como um limite:
Isso facilita o cálculo, pois agora temos um limite finito.

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral definida . A antiderivada de é . Então:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos aplicar o limite conforme tende ao infinito:
Sabemos que tende a 0 quando vai para , já que . Então:
Isso mostra que a integral converge para .

Resposta

A integral converge e seu valor é .

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Encontre os valores máximos e mínimos absolutos de no intervalo dado.
(b)
Encontre, caso existam, os números críticos da função.
(f)