Use o método das frações parciais para calcular as seguintes integrais: integral 12 x^3+x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral 12 x^3+x , dx usando o método das frações parciais. Esse método é uma técnica de cálculo integral que nos ajuda a simplificar frações racionais (ou seja, frações onde o numerador e o denominador são polinômios) para facilitar a integração. Vamos precisar fatorar o denominador e depois decompor a fração em partes menores que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador 2x^3 + x. Observamos que há um fator comum de x:
2x^3 + x = x(2x^2 + 1)
Agora, a integral fica:
integral 1x(2x^2 + 1) , dx

Passo 3

Agora, aplicamos o método das frações parciais. Queremos expressar 1x(2x^2 + 1) como a soma de duas frações:
1x(2x^2 + 1) = Ax + Bx + C2x^2 + 1
Aqui, A, B e C são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Para encontrar os valores de A, B e C, multiplicamos ambos os lados da equação por x(2x^2 + 1) para eliminar os denominadores:
1 = A(2x^2 + 1) + (Bx + C)x
Simplificando:
1 = A cdot 2x^2 + A cdot 1 + Bx^2 + Cx
Agora, agrupamos os termos semelhantes:
1 = (2A + B)x^2 + Cx + A

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes de ambos os lados da equação:
Para x^2:
2A + B = 0
Para x:
C = 0
Para o termo constante:
A = 1

Passo 6

Resolvendo as equações:
Primeiro, sabemos que A = 1.
Substituindo A na primeira equação:
2(1) + B = 0 Rightarrow B = -2
E já temos que C = 0.
Então, os valores são:
A = 1, B = -2, C = 0

Passo 7

Agora, substituímos os valores de A, B e C na decomposição das frações parciais:
1x(2x^2 + 1) = 1x + -2x + 02x^2 + 1
Simplificando:
1x(2x^2 + 1) = 1x - 2x2x^2 + 1

Passo 8

Agora, podemos integrar termo por termo:
integral 1x , dx - integral 2x2x^2 + 1 , dx
A primeira integral é direta, e para a segunda, podemos usar uma substituição.

Passo 9

Integrando o primeiro termo:
integral 1x , dx = ln|x| + C1
Para o segundo termo, fazemos a substituição u = 2x^2 + 1, então du = 4x , dx, ou seja, (du)/4 = x , dx.
Portanto:
integral 2x2x^2 + 1 , dx = integral 2u cdot du4 = 12 ln|u| + C2 = 12 ln|2x^2 + 1| + C2

Passo 10

Juntando as integrais e as constantes:
ln|x| - 12 ln|2x^2 + 1| + C
Onde C = C1 - C2 é a constante de integração geral.

Resposta

A integral é igual a ln|x| - 12 ln|2x^2 + 1| + C, onde C é a constante de integração.

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