Use o método das frações parciais para calcular as seguintes integrais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
usando o método das frações parciais. Esse método é uma técnica de cálculo integral que nos ajuda a simplificar frações racionais (ou seja, frações onde o numerador e o denominador são polinômios) para facilitar a integração. Vamos precisar fatorar o denominador e depois decompor a fração em partes menores que são mais fáceis de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador
. Observamos que há um fator comum de
:
Agora, a integral fica:
Passo 3
Agora, aplicamos o método das frações parciais. Queremos expressar
como a soma de duas frações:
Aqui,
,
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Para encontrar os valores de
,
e
, multiplicamos ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores:
Simplificando:
Agora, agrupamos os termos semelhantes:
Passo 5
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes de ambos os lados da equação:
Para
:
Para
:
Para o termo constante:
Passo 6
Resolvendo as equações:
Primeiro, sabemos que
.
Substituindo
na primeira equação:
E já temos que
.
Então, os valores são:
Passo 7
Agora, substituímos os valores de
,
e
na decomposição das frações parciais:
Simplificando:
Passo 8
Agora, podemos integrar termo por termo:
A primeira integral é direta, e para a segunda, podemos usar uma substituição.
Passo 9
Integrando o primeiro termo:
Para o segundo termo, fazemos a substituição
, então
, ou seja,
.
Portanto:
Passo 10
Juntando as integrais e as constantes:
Onde
é a constante de integração geral.
Resposta
A integral é igual a
, onde
é a constante de integração.
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