Use o método das frações parciais para calcular as seguintes integrais:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando o método das frações parciais. Esse método é uma técnica de cálculo integral que nos ajuda a simplificar frações racionais (ou seja, frações onde o numerador e o denominador são polinômios) para facilitar a integração. Vamos precisar fatorar o denominador e depois decompor a fração em partes menores que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador . Observamos que há um fator comum de :
Agora, a integral fica:

Passo 3

Agora, aplicamos o método das frações parciais. Queremos expressar como a soma de duas frações:
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Para encontrar os valores de , e , multiplicamos ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:
Simplificando:
Agora, agrupamos os termos semelhantes:

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes de ambos os lados da equação:
Para :
Para :
Para o termo constante:

Passo 6

Resolvendo as equações:
Primeiro, sabemos que .
Substituindo na primeira equação:
E já temos que .
Então, os valores são:

Passo 7

Agora, substituímos os valores de , e na decomposição das frações parciais:
Simplificando:

Passo 8

Agora, podemos integrar termo por termo:
A primeira integral é direta, e para a segunda, podemos usar uma substituição.

Passo 9

Integrando o primeiro termo:
Para o segundo termo, fazemos a substituição , então , ou seja, .
Portanto:

Passo 10

Juntando as integrais e as constantes:
Onde é a constante de integração geral.

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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