Analise as seguintes integrais impróprias, indicando quando elas divergem e calculando-as, caso contrário:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem essa integral imprópria:
. Nosso objetivo é descobrir se ela converge (isto é, se tem um valor finito) ou diverge. Se ela convergir, também vamos calcular o valor dessa integral. Para isso, vamos usar técnicas de cálculo integral, como substituição.
Passo 2
Primeiro, vamos entender por que essa integral é imprópria. O limite superior é o infinito, o que significa que estamos somando áreas até o infinito. Para lidar com isso, a gente reescreve a integral como um limite:
Dessa forma, a gente calcula a integral até um ponto
e depois vê o que acontece quando
cresce sem parar.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a antiderivada da função
. Para isso, usamos uma técnica chamada substituição, que facilita a integração. Seja:
Então, derivando ambos os lados em relação a
:
Substituindo na integral, temos:
E a antiderivada de
é simplesmente
. Então:
Passo 4
Agora, vamos aplicar os limites de integração de
até
:
Passo 5
Por fim, vamos calcular o limite quando
tende ao infinito:
Isso porque
tende a
quando
cresce sem parar.
Resposta
A integral converge e o valor dela é
.
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no intervalo dado.
(b)
(b)