Analise as seguintes integrais impróprias, indicando quando elas divergem e calculando-as, caso contrário: integral1^infty e^1 / xx^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem essa integral imprópria: . Nosso objetivo é descobrir se ela converge (isto é, se tem um valor finito) ou diverge. Se ela convergir, também vamos calcular o valor dessa integral. Para isso, vamos usar técnicas de cálculo integral, como substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos entender por que essa integral é imprópria. O limite superior é o infinito, o que significa que estamos somando áreas até o infinito. Para lidar com isso, a gente reescreve a integral como um limite:
limb to infty integral1^b e^1 / xx^2 , dx
Dessa forma, a gente calcula a integral até um ponto e depois vê o que acontece quando cresce sem parar.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a antiderivada da função u = 1x . Para isso, usamos uma técnica chamada substituição, que facilita a integração. Seja:
du = -1x^2 , dx Rightarrow -du = 1x^2 , dx
Então, derivando ambos os lados em relação a integral e^1 / xx^2 , dx = -integral e^u , du :
- integral e^u , du = -e^u + C = -e^1/x + C
Substituindo na integral, temos:
E a antiderivada de é simplesmente . Então:

Passo 4

Agora, vamos aplicar os limites de integração de integral1^b e^1 / xx^2 , dx = [ -e^1/x ]1^b = -e^1/b + e^1/1 = e - e^1/b até :

Passo 5

Por fim, vamos calcular o limite quando limb to infty ( e - e^1/b ) = e - e^0 = e - 1 tende ao infinito:
Isso porque tende a quando cresce sem parar.

Resposta

A integral converge e o valor dela é .

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