Analise as seguintes integrais impróprias, indicando quando elas divergem e calculando-as, caso contrário: integral0^2 1raizx ln (x2) d x

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa analisar a integral imprópria . Isso envolve cálculo de integrais impróprias, que são aquelas que têm algum ponto problemático no intervalo de integração—inicialmente, aqui é o ponto , já que tende ao infinito quando se aproxima de 0. Nosso objetivo é verificar se essa integral converge (ou seja, tem um valor finito) e, se sim, calcular esse valor.

Passo 2

Primeiro, vamos entender por que a integral é imprópria. Olhando para , percebemos que quando se aproxima de 0, essa expressão cresce sem limites. Além disso, o logaritmo também se comporta de maneira interessante: para , é negativo e tende a quando se aproxima de 0. Precisamos ver como esses comportamentos se combinam na integral.

Passo 3

Para facilitar o cálculo, vamos fazer uma substituição. Vamos definir integral0^2 1raizx ln (x2) d x = integral0^raiz2 1u ln (u^22) cdot 2u,du , o que implica que 2 integral0^raiz2 ln (u^22) du e . Agora, alteramos os limites de integração: quando , , e quando , .
Substituindo na integral original:
Simplificando:

Passo 4

Vamos expandir o logaritmo:
ln (u^22) = ln(u^2) - ln(2) = 2ln(u) - ln(2)
Substituindo de volta na integral:
2 integral0^raiz2 (2ln(u) - ln(2)) du = 4 integral0^raiz2 ln(u),du - 2ln(2) integral0^raiz2 du

Passo 5

Vamos calcular cada integral separadamente.
Primeiro, integral ln(u),du = u ln(u) - u + C :
4 [ u ln(u) - u ]0^raiz2 - 2ln(2) [ u ]0^raiz2
Agora, aplicando isso:
4 [ raiz2 ln(raiz2) - raiz2 ] - 2ln(2) cdot raiz2
Avaliar nos limites:
Para 4 [ raiz2 cdot 12 ln(2) - raiz2 ] - 2ln(2) cdot raiz2 = 2raiz2 ln(2) - 4raiz2 - 2raiz2 ln(2) :
-4raiz2
Sabemos que , então substituindo:
Os termos com se cancelam:

Resposta

A integral converge e seu valor é .

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