Analise as seguintes integrais impróprias, indicando quando elas divergem e calculando-as, caso contrário:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa analisar a integral imprópria
. Isso envolve cálculo de integrais impróprias, que são aquelas que têm algum ponto problemático no intervalo de integração—inicialmente, aqui é o ponto
, já que
tende ao infinito quando
se aproxima de 0. Nosso objetivo é verificar se essa integral converge (ou seja, tem um valor finito) e, se sim, calcular esse valor.
Passo 2
Primeiro, vamos entender por que a integral é imprópria. Olhando para
, percebemos que quando
se aproxima de 0, essa expressão cresce sem limites. Além disso, o logaritmo
também se comporta de maneira interessante: para
,
é negativo e tende a
quando
se aproxima de 0. Precisamos ver como esses comportamentos se combinam na integral.
Passo 3
Para facilitar o cálculo, vamos fazer uma substituição. Vamos definir
, o que implica que
e
. Agora, alteramos os limites de integração: quando
,
, e quando
,
.
Substituindo na integral original:
Simplificando:
Passo 4
Vamos expandir o logaritmo:
Substituindo de volta na integral:
Passo 5
Vamos calcular cada integral separadamente.
Primeiro,
:
Agora, aplicando isso:
Avaliar nos limites:
Para
:
Sabemos que
, então substituindo:
Os termos com
se cancelam:
Resposta
A integral
converge e seu valor é
.
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Sejam
e
duas funções contínuas nos intervalos
e
, respectivamente. Mostre que:
onde
é o retângulo:
e
. Use o item a) para calcular a integral:
onde
é o retângulo:
.
Analise as seguintes integrais impróprias, indicando quando elas divergem e calculando-as, caso contrário:
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