Analise as seguintes integrais impróprias, indicando quando elas divergem e calculando-as, caso contrário:

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa analisar a integral imprópria . Isso envolve cálculo de integrais impróprias, que são aquelas que têm algum ponto problemático no intervalo de integração—inicialmente, aqui é o ponto , já que tende ao infinito quando se aproxima de 0. Nosso objetivo é verificar se essa integral converge (ou seja, tem um valor finito) e, se sim, calcular esse valor.

Passo 2

Primeiro, vamos entender por que a integral é imprópria. Olhando para , percebemos que quando se aproxima de 0, essa expressão cresce sem limites. Além disso, o logaritmo também se comporta de maneira interessante: para , é negativo e tende a quando se aproxima de 0. Precisamos ver como esses comportamentos se combinam na integral.

Passo 3

Para facilitar o cálculo, vamos fazer uma substituição. Vamos definir , o que implica que e . Agora, alteramos os limites de integração: quando , , e quando , .
Substituindo na integral original:
Simplificando:

Passo 4

Vamos expandir o logaritmo:
Substituindo de volta na integral:

Passo 5

Vamos calcular cada integral separadamente.
Primeiro, :
Agora, aplicando isso:
Avaliar nos limites:
Para :
Sabemos que , então substituindo:
Os termos com se cancelam:

Resposta

A integral converge e seu valor é .

Exercícios relacionados

Analise as seguintes integrais impróprias, indicando quando elas divergem e calculando-as, caso contrário:
Sejam e duas funções contínuas nos intervalos e , respectivamente. Mostre que:
onde é o retângulo: e . Use o item a) para calcular a integral:
onde é o retângulo: .
Analise as seguintes integrais impróprias, indicando quando elas divergem e calculando-as, caso contrário:
Analise as seguintes integrais impróprias, indicando quando elas divergem e calculando-as, caso contrário: