Analise as seguintes integrais impróprias, indicando quando elas divergem e calculando-as, caso contrário:
Passo 1
Beleza! Então, o que a gente tem aqui é uma integral imprópria:
. A gente vai usar conhecimentos de cálculo integral, especialmente sobre integrais impróprias e integração de funções racionais. Vamos precisar entender como identificar se a integral converge (tem um valor finito) ou diverge, e se converge, calcular esse valor.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o denominador da fração. A expressão
parece com um trinômio quadrado perfeito, mas não é exatamente. Podemos completar o quadrado para facilitar a integração.
Então, a integral fica:
Passo 3
Agora, reconhecemos que a expressão dentro da integral é da forma
, cuja integral é conhecida. A fórmula é:
No nosso caso,
e
. Vamos fazer uma substituição simples para aplicar essa fórmula.
Passo 4
Aplicando a substituição:
Substituindo na integral:
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral definida de 1 a infinito utilizando os limites:
Vamos avaliar os limites:
- Quando
, , porque a tangente inversa de um número muito grande tende a . - Quando
, .
Passo 6
Subtraindo os valores dos limites:
Então, a integral converge e seu valor é
.
Resposta
A integral
converge e seu valor é
.
Exercícios relacionados
Analise as seguintes integrais impróprias, indicando quando elas divergem e calculando-as, caso contrário:
Analise as seguintes integrais impróprias, indicando quando elas divergem e calculando-as, caso contrário:
Analise as seguintes integrais impróprias, indicando quando elas divergem e calculando-as, caso contrário:
Inverta a ordem de integração.
(f)
(f)