Analise as seguintes integrais impróprias, indicando quando elas divergem e calculando-as, caso contrário: integral1^infty 1x^2+2 x+2 d x

Passo 1

Beleza! Então, o que a gente tem aqui é uma integral imprópria: . A gente vai usar conhecimentos de cálculo integral, especialmente sobre integrais impróprias e integração de funções racionais. Vamos precisar entender como identificar se a integral converge (tem um valor finito) ou diverge, e se converge, calcular esse valor.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador da fração. A expressão integral1^infty 1(x + 1)^2 + 1 dx parece com um trinômio quadrado perfeito, mas não é exatamente. Podemos completar o quadrado para facilitar a integração.
Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, reconhecemos que a expressão dentro da integral é da forma integral 1u^2 + a^2 du = 1a tan^-1(ua) + C , cuja integral é conhecida. A fórmula é:
No nosso caso, e . Vamos fazer uma substituição simples para aplicar essa fórmula.

Passo 4

Aplicando a substituição:
u = x + 1 Rightarrow du = dx
Substituindo na integral:
integral 1u^2 + 1 du = tan^-1(u) + C = tan^-1(x + 1) + C

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral definida de 1 a infinito utilizando os limites:
integral1^infty 1(x + 1)^2 + 1 dx = [ tan^-1(x + 1) ]1^infty
Vamos avaliar os limites:
  • Quando , , porque a tangente inversa de um número muito grande tende a .
  • Quando , .

Passo 6

Subtraindo os valores dos limites:
[ tan^-1(infty) ] - [ tan^-1(2) ] = pi2 - tan^-1(2)
Então, a integral converge e seu valor é .

Resposta

A integral converge e seu valor é .

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