Analise as seguintes integrais impróprias, indicando quando elas divergem e calculando-as, caso contrário:

Passo 1

Beleza! Então, o que a gente tem aqui é uma integral imprópria: . A gente vai usar conhecimentos de cálculo integral, especialmente sobre integrais impróprias e integração de funções racionais. Vamos precisar entender como identificar se a integral converge (tem um valor finito) ou diverge, e se converge, calcular esse valor.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador da fração. A expressão parece com um trinômio quadrado perfeito, mas não é exatamente. Podemos completar o quadrado para facilitar a integração.
Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, reconhecemos que a expressão dentro da integral é da forma , cuja integral é conhecida. A fórmula é:
No nosso caso, e . Vamos fazer uma substituição simples para aplicar essa fórmula.

Passo 4

Aplicando a substituição:
Substituindo na integral:

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral definida de 1 a infinito utilizando os limites:
Vamos avaliar os limites:
  • Quando , , porque a tangente inversa de um número muito grande tende a .
  • Quando , .

Passo 6

Subtraindo os valores dos limites:
Então, a integral converge e seu valor é .

Resposta

A integral converge e seu valor é .

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Inverta a ordem de integração.
(f)