Analise as seguintes integrais impróprias, indicando quando elas divergem e calculando-as, caso contrário:

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma integral imprópria do tipo . O conteúdo envolve cálculo de integrais em intervalos infinitos. Para resolver isso, vamos verificar se a integral converge (tem um valor finito) ou diverge (não tem um valor finito) e, se convergir, calcular o seu valor.

Passo 2

Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição que simplifique o integrando. Observamos que a presença da raiz quadrada de sugere que podemos fazer uma substituição envolvendo .

Passo 3

Vamos fazer a substituição . Assim:
Substituindo na integral, temos:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral . Sabemos que:
Aqui, então . Portanto:

Passo 5

Voltando à variável original , onde , temos:
Agora, aplicando os limites de integração de 3 a :
Sabemos que , então:

Resposta

A integral converge e seu valor é .

Exercícios relacionados

Sejam e duas funções contínuas nos intervalos e , respectivamente. Mostre que:
onde é o retângulo: e . Use o item a) para calcular a integral:
onde é o retângulo: .
Analise as seguintes integrais impróprias, indicando quando elas divergem e calculando-as, caso contrário:
Analise as seguintes integrais impróprias, indicando quando elas divergem e calculando-as, caso contrário:
Analise as seguintes integrais impróprias, indicando quando elas divergem e calculando-as, caso contrário: