Analise as seguintes integrais impróprias, indicando quando elas divergem e calculando-as, caso contrário:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma integral imprópria do tipo
. O conteúdo envolve cálculo de integrais em intervalos infinitos. Para resolver isso, vamos verificar se a integral converge (tem um valor finito) ou diverge (não tem um valor finito) e, se convergir, calcular o seu valor.
Passo 2
Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição que simplifique o integrando. Observamos que a presença da raiz quadrada de
sugere que podemos fazer uma substituição envolvendo
.
Passo 3
Vamos fazer a substituição
. Assim:
Substituindo na integral, temos:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos resolver a integral
. Sabemos que:
Aqui,
então
. Portanto:
Passo 5
Voltando à variável original
, onde
, temos:
Agora, aplicando os limites de integração de 3 a
:
Sabemos que
, então:
Resposta
A integral
converge e seu valor é
.
Exercícios relacionados
Sejam
e
duas funções contínuas nos intervalos
e
, respectivamente. Mostre que:
onde
é o retângulo:
e
. Use o item a) para calcular a integral:
onde
é o retângulo:
.
Analise as seguintes integrais impróprias, indicando quando elas divergem e calculando-as, caso contrário:
Analise as seguintes integrais impróprias, indicando quando elas divergem e calculando-as, caso contrário:
Analise as seguintes integrais impróprias, indicando quando elas divergem e calculando-as, caso contrário: