Analise as seguintes integrais impróprias, indicando quando elas divergem e calculando-as, caso contrário: integral3^infty 1raizx(x+4) d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma integral imprópria do tipo . O conteúdo envolve cálculo de integrais em intervalos infinitos. Para resolver isso, vamos verificar se a integral converge (tem um valor finito) ou diverge (não tem um valor finito) e, se convergir, calcular o seu valor.

Passo 2

Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição que simplifique o integrando. Observamos que a presença da raiz quadrada de sugere que podemos fazer uma substituição envolvendo .

Passo 3

Vamos fazer a substituição x = t^2 e dx = 2t , dt . Assim:
integral3^infty 1raizx(x+4) , dx = integralraiz3^infty 1t(t^2 + 4) cdot 2t , dt
Substituindo na integral, temos:
2 integralraiz3^infty 1t^2 + 4 , dt
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral integral 1t^2 + a^2 , dt = 1a arctan(ta) + C . Sabemos que:
2 integral 1t^2 + 4 , dt = 2 cdot ( 12 arctan(t2) ) + C = arctan(t2) + C
Aqui, então . Portanto:

Passo 5

Voltando à variável original arctan(raizx2) + C , onde limb to infty [ arctan(raizb2) - arctan(raiz32) ] , temos:
pi2 - arctan(raiz32)
Agora, aplicando os limites de integração de 3 a :
Sabemos que , então:

Resposta

A integral converge e seu valor é .

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