Sejam e duas funções contínuas nos intervalos e , respectivamente. Mostre que:
onde é o retângulo: e . Use o item a) para calcular a integral:
onde é o retângulo: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas funções contínuas, no intervalo e no intervalo . O objetivo é mostrar que a integral dupla de sobre o retângulo é igual ao produto das integrais individuais de e . Depois, vamos usar esse resultado para calcular uma integral específica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral dupla. Imagine que estamos calculando o volume sob a superfície definida por no retângulo . A integral dupla representa justamente esse volume.

Passo 3

Como as funções e dependem apenas de e respectivamente, elas são independentes uma da outra. Isso nos permite separar a integral dupla em duas integrais simples. Ou seja,
Essa propriedade é muito útil porque simplifica bastante o cálculo quando temos funções multiplicadas que dependem de variáveis diferentes.

Passo 4

Agora, vamos aplicar esse resultado para calcular a integral específica:
onde .
Aqui, identificamos e .

Passo 5

Vamos separar a integral dupla usando a propriedade que mostramos:
Vamos calcular cada integral separadamente.

Passo 6

Calculando :
Sabemos que:
Então,
Aplicando os limites:
Calculando :
Fazendo uma substituição: , então ou .
Aplicando os limites:

Resposta

Multiplicando os resultados das duas integrais:
Então, o valor da integral dupla é .

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