Sejam e duas funções contínuas nos intervalos e , respectivamente. Mostre que:
onde é o retângulo: e . Use o item a) para calcular a integral:
onde é o retângulo: .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas funções contínuas, no intervalo e no intervalo . O objetivo é mostrar que a integral dupla de sobre o retângulo é igual ao produto das integrais individuais de e . Depois, vamos usar esse resultado para calcular uma integral específica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma integral dupla. Imagine que estamos calculando o volume sob a superfície definida por no retângulo . A integral dupla representa justamente esse volume.
Passo 3
Como as funções e dependem apenas de e respectivamente, elas são independentes uma da outra. Isso nos permite separar a integral dupla em duas integrais simples. Ou seja,
Essa propriedade é muito útil porque simplifica bastante o cálculo quando temos funções multiplicadas que dependem de variáveis diferentes.
Passo 4
Agora, vamos aplicar esse resultado para calcular a integral específica:
onde .
Aqui, identificamos e .
Passo 5
Vamos separar a integral dupla usando a propriedade que mostramos: