Sejam f(x) e g(y) duas funções contínuas nos intervalos [a, b] e [c, d], respectivamente. Mostre que:
integral duplaD f(x) g(y) d x d y=[integrala^b f(x) d x][integralc^d g(y) d y]
onde D é o retângulo: D=(x, y) in R^2, a <= x <= b e c <= x <= d. Use o item a) para calcular a integral:
integral duplaD sen^2(x)1+4 y^2 d x d y
onde D é o retângulo: D=(x, y) in R^2, 0 <= x <= pi / 2 e 0 <= y <= 1 / 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas funções contínuas, no intervalo e no intervalo . O objetivo é mostrar que a integral dupla de sobre o retângulo é igual ao produto das integrais individuais de e . Depois, vamos usar esse resultado para calcular uma integral específica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral dupla. Imagine que estamos calculando o volume sob a superfície definida por no retângulo . A integral dupla representa justamente esse volume.

Passo 3

Como as funções integral duplaD f(x)g(y) , dx , dy = ( integrala^b f(x) , dx ) ( integralc^d g(y) , dy ) e dependem apenas de e respectivamente, elas são independentes uma da outra. Isso nos permite separar a integral dupla em duas integrais simples. Ou seja,
Essa propriedade é muito útil porque simplifica bastante o cálculo quando temos funções multiplicadas que dependem de variáveis diferentes.

Passo 4

Agora, vamos aplicar esse resultado para calcular a integral específica:
integral duplaD sin^2(x)1 + 4y^2 , dx , dy
onde .
Aqui, identificamos e .

Passo 5

Vamos separar a integral dupla usando a propriedade que mostramos:
integral duplaD sin^2(x)1 + 4y^2 , dx , dy = ( integral0^pi2 sin^2(x) , dx ) ( integral0^12 11 + 4y^2 , dy )
Vamos calcular cada integral separadamente.

Passo 6

Calculando sin^2(x) = 1 - cos(2x)2 :
Sabemos que:
integral sin^2(x) , dx = integral 1 - cos(2x)2 , dx = x2 - sin(2x)4 + C
Então,
x2 - sin(2x)4 |0^pi2 = ( pi4 - sin(pi)4 ) - ( 0 - sin(0)4 ) = pi4
Aplicando os limites:
integral 11 + 4y^2 , dy = 12 integral 11 + u^2 , du = 12 arctan(u) + C = 12 arctan(2y) + C
Calculando 12 arctan(2y) |0^12 = 12 arctan(1) - 12 arctan(0) = 12 cdot pi4 = pi8 :
Fazendo uma substituição: , então ou .
Aplicando os limites:

Resposta

Multiplicando os resultados das duas integrais:
integral duplaD sin^2(x)1 + 4y^2 , dx , dy = pi4 times pi8 = pi^232
Então, o valor da integral dupla é .

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