Analise as seguintes integrais impróprias, indicando quando elas divergem e calculando-as, caso contrário:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral imprópria que você me enviou: . Esse tipo de integral pertence ao tópico de Cálculo Integral, especificamente Integrais Impróprias. Para resolver, vamos precisar entender como lidar com pontos onde a função não está bem definida, como é o caso aqui em .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar por que essa integral é imprópria. Olhando para a função , vemos que no ponto o denominador se torna zero, o que faz a função “explodir” ou se tornar infinita. Isso significa que temos uma descontinuidade no intervalo de integração , já que está entre e .

Passo 3

Para lidar com essa descontinuidade, vamos dividir a integral em duas partes:
Cada uma dessas integrais será tratada como um limite, aproximando de pela esquerda e pela direita.

Passo 4

Vamos começar com a primeira parte: . Como se aproxima de pela esquerda, se aproxima de negativamente. Para facilitar, fazemos a substituição , então quando se aproxima de , se aproxima de .
A integral fica:
onde .

Passo 5

Integrando , temos:
Aplicando os limites:
Quando , , então a primeira integral converge para .

Passo 6

Agora, vamos para a segunda parte: . Aqui, se aproxima de pela direita, então é positivo. Fazemos a substituição , e a integral se torna:
Integrando da mesma forma:
Aplicando os limites:
Assim como antes, quando , , e a segunda integral converge para .

Resposta

A integral imprópria converge e seu valor é .

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