Analise as seguintes integrais impróprias, indicando quando elas divergem e calculando-as, caso contrário:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral imprópria que você me enviou:
. Esse tipo de integral pertence ao tópico de Cálculo Integral, especificamente Integrais Impróprias. Para resolver, vamos precisar entender como lidar com pontos onde a função não está bem definida, como é o caso aqui em
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar por que essa integral é imprópria. Olhando para a função
, vemos que no ponto
o denominador se torna zero, o que faz a função “explodir” ou se tornar infinita. Isso significa que temos uma descontinuidade no intervalo de integração
, já que
está entre
e
.
Passo 3
Para lidar com essa descontinuidade, vamos dividir a integral em duas partes:
Cada uma dessas integrais será tratada como um limite, aproximando
de
pela esquerda e pela direita.
Passo 4
Vamos começar com a primeira parte:
. Como
se aproxima de
pela esquerda,
se aproxima de
negativamente. Para facilitar, fazemos a substituição
, então quando
se aproxima de
,
se aproxima de
.
A integral fica:
onde
.
Passo 5
Integrando
, temos:
Aplicando os limites:
Quando
,
, então a primeira integral converge para
.
Passo 6
Agora, vamos para a segunda parte:
. Aqui,
se aproxima de
pela direita, então
é positivo. Fazemos a substituição
, e a integral se torna:
Integrando da mesma forma:
Aplicando os limites:
Assim como antes, quando
,
, e a segunda integral converge para
.
Resposta
A integral imprópria
converge e seu valor é
.
Exercícios relacionados
Analise as seguintes integrais impróprias, indicando quando elas divergem e calculando-as, caso contrário:
Analise as seguintes integrais impróprias, indicando quando elas divergem e calculando-as, caso contrário:
Analise as seguintes integrais impróprias, indicando quando elas divergem e calculando-as, caso contrário:
Analise as seguintes integrais impróprias, indicando quando elas divergem e calculando-as, caso contrário: