Analise as seguintes integrais impróprias, indicando quando elas divergem e calculando-as, caso contrário: integral1^4 1(x-2)^2 / 3 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral imprópria que você me enviou: . Esse tipo de integral pertence ao tópico de Cálculo Integral, especificamente Integrais Impróprias. Para resolver, vamos precisar entender como lidar com pontos onde a função não está bem definida, como é o caso aqui em .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar por que essa integral é imprópria. Olhando para a função , vemos que no ponto o denominador se torna zero, o que faz a função “explodir” ou se tornar infinita. Isso significa que temos uma descontinuidade no intervalo de integração , já que está entre e .

Passo 3

Para lidar com essa descontinuidade, vamos dividir a integral em duas partes:
integral1^4 1(x-2)^2 / 3 , dx = integral1^2 1(x-2)^2 / 3 , dx + integral2^4 1(x-2)^2 / 3 , dx
Cada uma dessas integrais será tratada como um limite, aproximando de pela esquerda e pela direita.

Passo 4

Vamos começar com a primeira parte: limt to 0^+ integral1^2 - t 1(2 - x)^2/3 , dx = limt to 0^+ integralt^1 1u^2/3 , du . Como se aproxima de pela esquerda, se aproxima de negativamente. Para facilitar, fazemos a substituição , então quando se aproxima de , se aproxima de .
A integral fica:
onde .

Passo 5

Integrando integral 1u^2/3 , du = integral u^-2/3 , du = u^1/31/3 + C = 3u^1/3 + C , temos:
limt to 0^+ [ 3u^1/3 ]t^1 = 3(1)^1/3 - 3(t)^1/3 = 3 - 3t^1/3
Aplicando os limites:
Quando , , então a primeira integral converge para .

Passo 6

Agora, vamos para a segunda parte: limt to 0^+ integralt^2 1u^2/3 , du . Aqui, integral 1u^2/3 , du = 3u^1/3 + C se aproxima de limt to 0^+ [ 3u^1/3 ]t^2 = 3(2)^1/3 - 3(t)^1/3 = 3 times 2^1/3 - 3t^1/3 pela direita, então é positivo. Fazemos a substituição , e a integral se torna:
Integrando da mesma forma:
Aplicando os limites:
Assim como antes, quando , , e a segunda integral converge para .

Resposta

A integral imprópria converge e seu valor é .

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