Analise as seguintes integrais impróprias, indicando quando elas divergem e calculando-as, caso contrário:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente vai analisar a integral imprópria
. Isso envolve cálculo de integrais que vão até o infinito e também onde o denominador pode ser zero, então precisamos checar se ela converge ou não e, se der certo, calcular o valor dela. Para resolver, vamos precisar usar substituições e conhecer um pouco sobre integrais de funções racionais com raízes.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a integral converge. Olhando para
, temos
, que se comporta como
. Sabemos que
converge porque o expoente
é maior que
.
Passo 3
Agora, para
, a função
se aproxima de
. A integral
também converge porque o expoente
é menor que
. Portanto, a integral original converge em todo o intervalo.
Passo 4
Vamos calcular a integral. Para simplificar, fazemos uma substituição: seja
, assim
e
. Substituindo na integral:
Passo 5
Agora, temos a integral
. Sabemos que a integral de
é
. Aqui,
, então
. Aplicando a fórmula:
Passo 6
Evaluando os limites:
Portanto,
Resposta
O valor da integral é
.
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Inverta a ordem de integração.
(f)
(f)
Utilizando integral dupla, calcule a área do conjunto
dado.
© é determinado pelas desigualdades
e
.
©