Analise as seguintes integrais impróprias, indicando quando elas divergem e calculando-as, caso contrário: integral0^infty 1raizx(x+4) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente vai analisar a integral imprópria . Isso envolve cálculo de integrais que vão até o infinito e também onde o denominador pode ser zero, então precisamos checar se ela converge ou não e, se der certo, calcular o valor dela. Para resolver, vamos precisar usar substituições e conhecer um pouco sobre integrais de funções racionais com raízes.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a integral converge. Olhando para , temos , que se comporta como . Sabemos que converge porque o expoente é maior que .

Passo 3

Agora, para , a função se aproxima de . A integral também converge porque o expoente é menor que . Portanto, a integral original converge em todo o intervalo.

Passo 4

Vamos calcular a integral. Para simplificar, fazemos uma substituição: seja integral0^infty 1raizx(x+4) , dx = integral0^infty 1t(t^2 + 4) cdot 2t , dt = 2 integral0^infty 1t^2 + 4 , dt , assim e . Substituindo na integral:

Passo 5

Agora, temos a integral 2 integral0^infty 1t^2 + 4 , dt = 2 [ 12 arctan(t2) ]0^infty = [ arctan(t2) ]0^infty . Sabemos que a integral de é . Aqui, , então . Aplicando a fórmula:

Passo 6

Evaluando os limites:
arctan(infty2) = pi2 e arctan(02) = 0
Portanto,
[ arctan(t2) ]0^infty = pi2 - 0 = pi2

Resposta

O valor da integral é .

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