Utilizando integral dupla, calcule a área do conjunto
dado.
©
é determinado pelas desigualdades
e
.
©
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é calcular a área de uma região
usando integrais duplas. A região
é definida pelas desigualdades:
Então, vamos precisar entender como essas desigualdades delimitam a área que queremos encontrar e usar integrais duplas para calcular essa área.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as desigualdades que definem
:
-
: Isso significa que o produto de e não pode ser maior que 2. -
: Aqui, está entre e , ou seja, está numa faixa de 1 unidade acima de . -
: é não negativo.
Vamos desenhar essas condições no plano cartesiano para visualizar melhor a região.
Passo 3
Vamos identificar os limites de integração. Como
e
está entre
e
, podemos expressar
em termos de
:
Além disso, a condição
pode ser rearranjada para encontrar
:
Então, para cada
,
varia de
a
.
Passo 4
Vamos determinar os valores de
onde as duas curvas
e
se intersectam. Igualando as duas expressões:
Multiplicando ambos os lados por
(lembrando que
):
Resolvendo essa equação quadrática:
Como
, temos
.
Passo 5
Agora sabemos que a interseção ocorre em
. Então, dividimos a integral em duas partes:
- Para
, varia de a . - Para
, varia de a .
Mas como
, precisamos garantir que
também esteja considerado.
Passo 6
Montamos a integral dupla para a área
da região
:
Aqui, na primeira parte,
vai de 0 a 1 e
de
a
. Na segunda parte,
vai de 1 a 2 (encontrado substituindo
na interseção) e
de
a
.
Passo 7
Vamos calcular cada integral separadamente.
Primeira integral:
Segunda integral:
Calculando:
Passo 8
Somando as duas partes da área:
Resposta
A área da região
é
.
Exercícios relacionados
Inverta a ordem de integração.
(f)
(f)
Analise as seguintes integrais impróprias, indicando quando elas divergem e calculando-as, caso contrário:
Calcule:
Inverta a ordem de integração.
(h)
(h)