Utilizando integral dupla, calcule a área do conjunto dado.
© é determinado pelas desigualdades e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é calcular a área de uma região usando integrais duplas. A região é definida pelas desigualdades:
Então, vamos precisar entender como essas desigualdades delimitam a área que queremos encontrar e usar integrais duplas para calcular essa área.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as desigualdades que definem :
  1. : Isso significa que o produto de e não pode ser maior que 2.
  2. : Aqui, está entre e , ou seja, está numa faixa de 1 unidade acima de .
  3. : é não negativo.
Vamos desenhar essas condições no plano cartesiano para visualizar melhor a região.

Passo 3

Vamos identificar os limites de integração. Como e está entre e , podemos expressar em termos de :
Além disso, a condição pode ser rearranjada para encontrar :
Então, para cada , varia de a .

Passo 4

Vamos determinar os valores de onde as duas curvas e se intersectam. Igualando as duas expressões:
Multiplicando ambos os lados por (lembrando que ):
Resolvendo essa equação quadrática:
Como , temos .

Passo 5

Agora sabemos que a interseção ocorre em . Então, dividimos a integral em duas partes:
  1. Para , varia de a .
  2. Para , varia de a .
Mas como , precisamos garantir que também esteja considerado.

Passo 6

Montamos a integral dupla para a área da região :
Aqui, na primeira parte, vai de 0 a 1 e de a . Na segunda parte, vai de 1 a 2 (encontrado substituindo na interseção) e de a .

Passo 7

Vamos calcular cada integral separadamente.
Primeira integral:
Segunda integral:
Calculando:

Passo 8

Somando as duas partes da área:

Resposta

A área da região é .

Exercícios relacionados

Inverta a ordem de integração.
(f)
Analise as seguintes integrais impróprias, indicando quando elas divergem e calculando-as, caso contrário:
Calcule:
Inverta a ordem de integração.
(h)