Use as substituições trigonométricas para calcular:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo e qual matéria precisamos usar. Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve uma função racional e uma raiz quadrada de uma função quadrática. Para resolver isso, vamos usar substituições trigonométricas, que são técnicas que nos ajudam a simplificar integrais envolvendo expressões quadráticas dentro de raízes.

Passo 2

Vamos começar fazendo uma substituição trigonométrica para simplificar a expressão dentro da raiz. Observamos que dentro da raiz temos , que se parece com a forma . Para esse tipo de expressão, podemos usar a substituição .
Aqui, então , e então . Portanto, fazemos a substituição:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar em termos de . Derivando em relação a :

Passo 4

Vamos substituir e na integral original:
Simplificando os termos:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Fatorando 2:
Como está no intervalo onde é positivo, podemos omitir o valor absoluto:

Passo 6

Voltando à integral simplificada:
Simplificando os termos:

Passo 7

Agora, usamos a identidade trigonométrica para :
Substituindo na integral:

Passo 8

Integrando termo a termo:
Onde é a constante de integração.

Passo 9

Agora, precisamos voltar à variável original . Lembrando que fizemos a substituição , então:
Também, usando a identidade e sabendo que :
Substituindo tudo de volta:

Resposta

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