Use as substituições trigonométricas para calcular:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo e qual matéria precisamos usar. Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve uma função racional e uma raiz quadrada de uma função quadrática. Para resolver isso, vamos usar substituições trigonométricas, que são técnicas que nos ajudam a simplificar integrais envolvendo expressões quadráticas dentro de raízes.
Passo 2
Vamos começar fazendo uma substituição trigonométrica para simplificar a expressão dentro da raiz. Observamos que dentro da raiz temos
, que se parece com a forma
. Para esse tipo de expressão, podemos usar a substituição
.
Aqui,
então
, e
então
. Portanto, fazemos a substituição:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar
em termos de
. Derivando
em relação a
:
Passo 4
Vamos substituir
e
na integral original:
Simplificando os termos:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Fatorando 2:
Como
está no intervalo onde
é positivo, podemos omitir o valor absoluto:
Passo 6
Voltando à integral simplificada:
Simplificando os termos:
Passo 7
Agora, usamos a identidade trigonométrica para
:
Substituindo na integral:
Passo 8
Integrando termo a termo:
Onde
é a constante de integração.
Passo 9
Agora, precisamos voltar à variável original
. Lembrando que fizemos a substituição
, então:
Também, usando a identidade
e sabendo que
:
Substituindo tudo de volta:
Resposta
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