Use as substituições trigonométricas para calcular: integral d xx^3 raiz18 x^2-2

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo e qual matéria precisamos usar. Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve uma função racional e uma raiz quadrada de uma função quadrática. Para resolver isso, vamos usar substituições trigonométricas, que são técnicas que nos ajudam a simplificar integrais envolvendo expressões quadráticas dentro de raízes.

Passo 2

Vamos começar fazendo uma substituição trigonométrica para simplificar a expressão dentro da raiz. Observamos que dentro da raiz temos x = raiz23raiz2 sec(theta) = 13 sec(theta) , que se parece com a forma . Para esse tipo de expressão, podemos usar a substituição .
Aqui, então , e então . Portanto, fazemos a substituição:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar dx = 13 sec(theta) tan(theta) dtheta em termos de . Derivando em relação a :

Passo 4

Vamos substituir integral dxx^3 raiz18 x^2 - 2 = integral 13 sec(theta) tan(theta) dtheta(13 sec(theta))^3 raiz18 (13 sec(theta))^2 - 2 e = integral 13 sec(theta) tan(theta)127 sec^3(theta) raiz2 sec^2(theta) - 2 dtheta na integral original:
Simplificando os termos:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
raiz18 x^2 - 2 = raiz18 (13 sec(theta))^2 - 2 = raiz18 cdot 19 sec^2(theta) - 2 = raiz2 sec^2(theta) - 2
Fatorando 2:
= raiz2 (sec^2(theta) - 1) = raiz2 tan^2(theta) = raiz2 |tan(theta)|
Como = raiz2 tan(theta) está no intervalo onde é positivo, podemos omitir o valor absoluto:

Passo 6

Voltando à integral simplificada:
integral 13 sec(theta) tan(theta)127 sec^3(theta) cdot raiz2 tan(theta) dtheta = integral 13 sec(theta) tan(theta)raiz227 sec^3(theta) tan(theta) dtheta
Simplificando os termos:
= integral 13raiz227 sec^2(theta) dtheta = integral 273 raiz2 cos^2(theta) dtheta = integral 9raiz2 cos^2(theta) dtheta

Passo 7

Agora, usamos a identidade trigonométrica para cos^2(theta) = 1 + cos(2theta)2 :
integral 9raiz2 cdot 1 + cos(2theta)2 dtheta = 92raiz2 integral (1 + cos(2theta)) dtheta
Substituindo na integral:

Passo 8

Integrando termo a termo:
92raiz2 ( integral 1 , dtheta + integral cos(2theta) dtheta ) = 92raiz2 ( theta + sin(2theta)2 ) + C
Onde é a constante de integração.

Passo 9

Agora, precisamos voltar à variável original sec(theta) = 3x implies theta = sec^-1(3x) . Lembrando que fizemos a substituição sin(theta) = raizsec^2(theta) - 1 cdot cos(theta) = raiz9x^2 - 1 cdot 13x , então:
92raiz2 ( sec^-1(3x) + 2 cdot raiz9x^2 - 1 cdot 13x cdot 3x2 ) + C = 92raiz2 ( sec^-1(3x) + raiz9x^2 - 1 ) + C
Também, usando a identidade e sabendo que :
Substituindo tudo de volta:

Resposta

92raiz2 ( sec^-1(3x) + raiz9x^2 - 1 ) + C

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