Analise as seguintes integrais impróprias, indicando quando elas divergem e calculando-as, caso contrário:

Passo 1

Vamos analisar a integral imprópria . Aqui, estamos lidando com uma integral que tem um limite infinito, ou seja, o limite de integração vai até o infinito. Nosso objetivo é determinar se essa integral converge (ou seja, tem um valor finito) ou diverge (cresce sem limites).

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é uma integral imprópria. Uma integral é considerada imprópria quando envolve limites de integração infinitos ou quando a função integranda não é limitada no intervalo de integração. No nosso caso, o limite superior é infinito, o que significa que vamos precisar calcular um limite para resolver a integral.

Passo 3

Vamos reescrever a integral como o limite de uma integral definida em que o limite superior tende ao infinito. Assim, temos:

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral definida de de 1 até . A antiderivada de é , então:

Passo 5

Finalmente, vamos avaliar o limite quando tende ao infinito:
Isso significa que à medida que cresce sem limites, o valor de também cresce sem limites. Portanto, a integral não se aproxima de um número finito.

Resposta

A integral diverge para o infinito.

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Use o método das frações parciais para calcular as seguintes integrais:
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Sejam e duas funções contínuas nos intervalos e , respectivamente. Mostre que:
onde é o retângulo: e . Use o item a) para calcular a integral:
onde é o retângulo: .
Analise as seguintes integrais impróprias, indicando quando elas divergem e calculando-as, caso contrário: