Analise as seguintes integrais impróprias, indicando quando elas divergem e calculando-as, caso contrário:
Passo 1
Vamos analisar a integral imprópria
. Aqui, estamos lidando com uma integral que tem um limite infinito, ou seja, o limite de integração vai até o infinito. Nosso objetivo é determinar se essa integral converge (ou seja, tem um valor finito) ou diverge (cresce sem limites).
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é uma integral imprópria. Uma integral é considerada imprópria quando envolve limites de integração infinitos ou quando a função integranda não é limitada no intervalo de integração. No nosso caso, o limite superior é infinito, o que significa que vamos precisar calcular um limite para resolver a integral.
Passo 3
Vamos reescrever a integral como o limite de uma integral definida em que o limite superior tende ao infinito. Assim, temos:
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral definida de
de 1 até
. A antiderivada de
é
, então:
Passo 5
Finalmente, vamos avaliar o limite quando
tende ao infinito:
Isso significa que à medida que
cresce sem limites, o valor de
também cresce sem limites. Portanto, a integral não se aproxima de um número finito.
Resposta
A integral
diverge para o infinito.
Exercícios relacionados
Use o método das frações parciais para calcular as seguintes integrais:
Use o método das frações parciais para calcular as seguintes integrais:
Sejam
e
duas funções contínuas nos intervalos
e
, respectivamente. Mostre que:
onde
é o retângulo:
e
. Use o item a) para calcular a integral:
onde
é o retângulo:
.
Analise as seguintes integrais impróprias, indicando quando elas divergem e calculando-as, caso contrário: