Analise as seguintes integrais impróprias, indicando quando elas divergem e calculando-as, caso contrário:
Passo 1
Beleza, vamos analisar as integrais impróprias que você me enviou. O conteúdo aqui envolve integrais impróprias, que são aquelas onde o intervalo de integração é infinito ou onde a função tem descontinuidades no intervalo. Para resolver, vamos verificar se cada integral converge (tem um valor definido) ou diverge (não tem valor definido). Se convergir, vamos calcular o valor dela usando técnicas de cálculo integral apropriadas.
Passo 2
Integral 1:
Primeiro, reconhecemos que essa é uma integral imprópria devido ao limite superior ser infinito. A função é uma função básica cuja integral é conhecida.
Passo 3
Vamos calcular a integral:
Como tende ao infinito quando tende ao infinito, concluímos que a integral diverge.
Passo 4
Integral 2:
Aqui, a integral é imprópria pelo limite superior infinito. A função pode ser simplificada para facilitar a integração.
Passo 5
Primeiro, vamos fatorar o denominador:
Então, podemos usar frações parciais:
Resolvendo para e , encontramos que e . Assim:
Agora, avaliamos o limite:
Simplificando:
Portanto, a integral converge e seu valor é .
Passo 6
Integral 3:
Essa integral é imprópria devido aos limites de integração que vão de a . A função é contínua em todo o domínio real.
Passo 7
Sabemos que:
Aqui, então . Aplicando os limites:
Portanto, a integral converge e seu valor é .
Passo 8
Integral 4:
A integral é imprópria pelo limite superior infinito. Vamos analisar a integral.
Passo 9
Calculando a integral:
Como tende ao infinito quando tende ao infinito, a integral diverge.
Passo 10
Integral 5:
A integral é imprópria pelo limite inferior . Vamos resolver usando integração por partes ou fórmula de integrais de exponenciais multiplicadas por funções trigonométricas.