Analise as seguintes integrais impróprias, indicando quando elas divergem e calculando-as, caso contrário:
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Passo 1
Beleza, vamos analisar as integrais impróprias que você me enviou. O conteúdo aqui envolve integrais impróprias, que são aquelas onde o intervalo de integração é infinito ou onde a função tem descontinuidades no intervalo. Para resolver, vamos verificar se cada integral converge (tem um valor definido) ou diverge (não tem valor definido). Se convergir, vamos calcular o valor dela usando técnicas de cálculo integral apropriadas.
Passo 2
**Integral 1: **
Primeiro, reconhecemos que essa é uma integral imprópria devido ao limite superior ser infinito. A função é uma função básica cuja integral é conhecida.
Passo 3
Vamos calcular a integral:
Como tende ao infinito quando tende ao infinito, concluímos que a integral **diverge**.
Passo 4
**Integral 2: **
Aqui, a integral é imprópria pelo limite superior infinito. A função pode ser simplificada para facilitar a integração.
Passo 5
Primeiro, vamos fatorar o denominador:
Então, podemos usar frações parciais:
Resolvendo para e , encontramos que e . Assim:
Agora, avaliamos o limite:
Simplificando:
Portanto, a integral **converge** e seu valor é .
Passo 6
**Integral 3: **
Essa integral é imprópria devido aos limites de integração que vão de a . A função é contínua em todo o domínio real.
Passo 7
Sabemos que:
Aqui, então . Aplicando os limites:
Portanto, a integral **converge** e seu valor é .
Passo 8
**Integral 4: **
A integral é imprópria pelo limite superior infinito. Vamos analisar a integral.
Passo 9
Calculando a integral:
Como tende ao infinito quando tende ao infinito, a integral **diverge**.
Passo 10
**Integral 5: **
A integral é imprópria pelo limite inferior . Vamos resolver usando integração por partes ou fórmula de integrais de exponenciais multiplicadas por funções trigonométricas.
Passo 11
Sabemos que:
Aqui, e . Aplicando os limites:
No limite , tende a 0, então:
Portanto, a integral **converge** e seu valor é .
Resposta
Analisamos cada uma das integrais impróprias:
1. **diverge**.
2. **converge** com valor .
3. **converge** com valor .
4. **diverge**.
5. **converge** com valor .