Analise as seguintes integrais impróprias, indicando quando elas divergem e calculando-as, caso contrário:
  1. integral1^infty 1x d x
  2. integral2^infty 1x^2-1 d x
  3. integral-infty^+infty 1x^2+9 d x
  4. integral1^infty 1raizx d x
  5. integral-infty^0 e^x sin (2 x) d x
  6. integral3^infty 1raizx(x+4) d x
  7. integral1^infty 1x^2+2 x+2 d x
  8. integral1^infty e^1 / xx^2 d x
  9. integral0^infty e^-a x d x, a>0

Passo 1

Beleza, vamos analisar as integrais impróprias que você me enviou. O conteúdo aqui envolve integrais impróprias, que são aquelas onde o intervalo de integração é infinito ou onde a função tem descontinuidades no intervalo. Para resolver, vamos verificar se cada integral converge (tem um valor definido) ou diverge (não tem valor definido). Se convergir, vamos calcular o valor dela usando técnicas de cálculo integral apropriadas.

Passo 2

Integral 1:
Primeiro, reconhecemos que essa é uma integral imprópria devido ao limite superior ser infinito. A função é uma função básica cuja integral é conhecida.

Passo 3

Vamos calcular a integral:
integral1^infty 1x , dx = limb to infty integral1^b 1x , dx = limb to infty [ln|x|]1^b = limb to infty (ln b - ln 1) = limb to infty ln b
Como tende ao infinito quando tende ao infinito, concluímos que a integral diverge.

Passo 4

Integral 2:
Aqui, a integral é imprópria pelo limite superior infinito. A função pode ser simplificada para facilitar a integração.

Passo 5

Primeiro, vamos fatorar o denominador:
x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)
Então, podemos usar frações parciais:
1x^2-1 = Ax - 1 + Bx + 1
Resolvendo para integral 1x^2-1 , dx = 12 ln|x - 1| - 12 ln|x + 1| + C e limb to infty [ 12 ln(b - 1) - 12 ln(b + 1) ] - [ 12 ln(2 - 1) - 12 ln(2 + 1) ] , encontramos que limb to infty 12 ln(b - 1b + 1) - 12 ln(13) = 12 ln(1) - 12 ln(13) = 0 + 12 ln 3 e . Assim:
Agora, avaliamos o limite:
Simplificando:
Portanto, a integral converge e seu valor é .

Passo 6

Integral 3:
Essa integral é imprópria devido aos limites de integração que vão de a . A função é contínua em todo o domínio real.

Passo 7

Sabemos que:
integral 1x^2+a^2 , dx = 1a arctan(xa) + C
Aqui, integral-infty^+infty 1x^2+9 , dx = 13 [ arctan(x3) ]-infty^+infty = 13 ( pi2 - (-pi2) ) = 13 pi então . Aplicando os limites:
Portanto, a integral converge e seu valor é .

Passo 8

Integral 4:
A integral é imprópria pelo limite superior infinito. Vamos analisar a integral.

Passo 9

Calculando a integral:
integral1^infty 1raizx , dx = limb to infty integral1^b x^-1/2 , dx = limb to infty [ 2raizx ]1^b = limb to infty (2raizb - 2)
Como tende ao infinito quando tende ao infinito, a integral diverge.

Passo 10

Integral 5:
A integral é imprópria pelo limite inferior . Vamos resolver usando integração por partes ou fórmula de integrais de exponenciais multiplicadas por funções trigonométricas.

Passo 11

Sabemos que:
integral e^ax sin(bx) , dx = e^axa^2 + b^2 (a sin(bx) - b cos(bx)) + C
Aqui, integral-infty^0 e^x sin(2x) , dx = e^x1 + 4 ( sin(2x) - 2 cos(2x) ) |-infty^0 e = 15 (0 - 2 cdot 1) - 0 = -25 . Aplicando os limites:
No limite , tende a 0, então:
Portanto, a integral converge e seu valor é .

Resposta

Analisamos cada uma das integrais impróprias:
  1. diverge.
  2. converge com valor .
  3. converge com valor .
  4. diverge.
  5. converge com valor .

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