Use as substituições trigonométricas para calcular:
  1. integral raiz1-3 x^2x d x
  2. integral d xx raizx^2+5
  3. integral d x(x^2+25)^32
  4. integral x^2(x^2+9)^52 d x
  5. integral d xraiz(x^2-4)^3
  6. integral d xraiz(3+x^2)^3 d x
  7. integral d xx^3 raiz18 x^2-2
  8. integral d xx raizx^2-4 d x
  9. integral x^5raiz-4 x^2+2 d x
  10. integral x^3raiz3-x^2 d x
  11. integralraiz2^2 1x^2 raizx^2-1 d x
  12. integral raizx^2-4x^4 d x
  13. integral d xx raiz5-x^2
  14. integral xraizx^2+x+1 d x
  15. integral raizx^2+2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Essa questão envolve substituições trigonométricas, que são uma técnica útil para integrar expressões que contêm raízes quadradas de polinômios quadráticos. Para resolver isso, vamos precisar identificar qual substituição trigonométrica se encaixa melhor e aplicar as fórmulas correspondentes.

Passo 2

Primeiro, observe que dentro da raiz temos raiz1 - 3x^2 = raiz1 - (raiz3x)^2 . Para facilitar, vamos fatorar o 3:
Isso se parece com a forma , onde usamos a substituição trigonométrica .

Passo 3

Vamos fazer a substituição:
raiz1 - 3x^2 = raiz1 - (raiz3x)^2 = raiz1^2 - (raiz3x)^2
Comparando com raiz3x = sintheta Rightarrow x = sinthetaraiz3 , temos e . Então, fazemos:

Passo 4

Agora, calculamos dx = 1raiz3 costheta , dtheta :
integral raiz1 - 3x^2x , dx = integral raiz1 - (raiz3x)^2x cdot 1raiz3 costheta , dtheta
Substituindo integral costhetasinthetaraiz3 cdot 1raiz3 costheta , dtheta = integral raiz3 cos^2thetasintheta cdot 1raiz3 , dtheta = integral cos^2thetasintheta , dtheta e na integral original:
Mas sabemos que , então:

Passo 5

Para simplificar cos^2thetasintheta = 1 - sin^2thetasintheta = 1sintheta - sintheta = csctheta - sintheta , usamos a identidade trigonométrica integral ( csctheta - sintheta ) dtheta , mas aqui é mais eficiente reescrever a fração:
Então, a integral fica:

Passo 6

Vamos integrar termo a termo:
integral csctheta , dtheta = -ln|csctheta + cottheta| + C
integral sintheta , dtheta = -costheta + C
Portanto:
integral ( csctheta - sintheta ) dtheta = -ln|csctheta + cottheta| + costheta + C

Passo 7

Agora, precisamos reescrever tudo em termos de raiz3x = sintheta Rightarrow theta = arcsin(raiz3x) . Lembrando que:
csctheta = 1sintheta = 1raiz3x, cottheta = costhetasintheta = raiz1 - 3x^2raiz3x
Também, desenhando um triângulo retângulo para expressar -ln|1raiz3x + raiz1 - 3x^2raiz3x| + costheta + C = -ln|1 + raiz1 - 3x^2raiz3x| + raiz1 - 3x^2 + C e :
  • Hipotenusa: 1
  • Oposto:
  • Adjacente: \sqrt{1 - 3x^2}
Então:
Substituindo de volta:

Resposta

A integral -ln|1 + raiz1 - 3x^2raiz3x| + raiz1 - 3x^2 + C é igual a:
onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados