Use as substituições trigonométricas para calcular:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Essa questão envolve substituições trigonométricas, que são uma técnica útil para integrar expressões que contêm raízes quadradas de polinômios quadráticos. Para resolver isso, vamos precisar identificar qual substituição trigonométrica se encaixa melhor e aplicar as fórmulas correspondentes.

Passo 2

Primeiro, observe que dentro da raiz temos . Para facilitar, vamos fatorar o 3:
Isso se parece com a forma , onde usamos a substituição trigonométrica .

Passo 3

Vamos fazer a substituição:
Comparando com , temos e . Então, fazemos:

Passo 4

Agora, calculamos :
Substituindo e na integral original:
Mas sabemos que , então:

Passo 5

Para simplificar , usamos a identidade trigonométrica , mas aqui é mais eficiente reescrever a fração:
Então, a integral fica:

Passo 6

Vamos integrar termo a termo:
Portanto:

Passo 7

Agora, precisamos reescrever tudo em termos de . Lembrando que:
Também, desenhando um triângulo retângulo para expressar e :
  • Hipotenusa: 1
  • Oposto:
  • Adjacente: \sqrt{1 - 3x^2}
Então:
Substituindo de volta:

Resposta

A integral é igual a:
onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Analise as seguintes integrais impróprias, indicando quando elas divergem e calculando-as, caso contrário:
Determine as derivadas parciais de primeira ordem de cada função:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
Seja .
(a) Calcule .
(b) Determine o domínio de .
© Determine a imagem de .
Use o método das frações parciais para calcular as seguintes integrais: