Determine as derivadas parciais de primeira ordem de cada função:
(a) f(x, y)=x^5+3 x^3 y^2+3 x y^4
(b) f(x, y)=x-yx+y
© u=raizx1^2+x2^2+cdots+xn^2
(d) u=t e^wt
(e) z=x^2 ln (1+x^2+y^2)
(f) z=x y e^x y
(g) z=x sen ycos (x^2+y^2)
(h) f(x, y)=integraly^x cos ^2 t d t

Passo 1

E aí! Vamos resolver um exercício sobre derivadas parciais de primeira ordem. Precisamos encontrar as derivadas em relação a cada variável para cada função dada. Para isso, vamos usar regras básicas de derivação, como a regra do poder, regra do produto, regra do quociente e o teorema fundamental do cálculo. Vamos lá?

Passo 2

Parte (a)

Função: partial fpartial x = 5x^4 + 9x^2 y^2 + 3y^4
Derivada parcial em relação a partial fpartial y = 6x^3 y + 12x y^3 :
  1. Derivamos cada termo em relação a , tratando como constante.
  2. Aplicamos a regra do poder:
  3. Somamos as derivadas:
Derivada parcial em relação a :
  1. Derivamos cada termo em relação a , tratando como constante.
  2. Aplicamos a regra do poder:
    • (pois não depende de )
  3. Somamos as derivadas:

Passo 3

Parte (b)

Função: partial fpartial x = (1)(x + y) - (x - y)(1)(x + y)^2 = 2y(x + y)^2
Derivada parcial em relação a partial fpartial y = (-1)(x + y) - (x - y)(1)(x + y)^2 = -2x(x + y)^2 :
  1. Aplicamos a regra do quociente: se , então .
  2. Identificamos e .
  3. Calculamos as derivadas:
  4. Aplicamos a fórmula:
Derivada parcial em relação a :
  1. Novamente, aplicamos a regra do quociente.
  2. Calculamos as derivadas:
  3. Aplicamos a fórmula:

Passo 4

Parte ©

Função: partial upartial xi = 12(x1^2 + x2^2 + cdots + xn^2)^-1/2 cdot 2xi = xiu
Derivadas parciais em relação a cada :
  1. Reescrevemos a função como .
  2. Aplicamos a regra da cadeia: .
  3. Derivando em relação a :

Passo 5

Parte (d)

Função: partial upartial t = 1 cdot e^wt + t cdot e^wt cdot (-wt^2) = e^wt (1 - wt)
Derivada parcial em relação a partial upartial w = t cdot e^wt cdot 1t = e^wt :
  1. Identificamos que é o produto de e .
  2. Aplicamos a regra do produto: .
  3. Derivando:
    • , então
    • , então (usando a regra da cadeia)
  4. Aplicamos a regra:
Derivada parcial em relação a :
  1. Derivamos em relação a , tratando como constante.
  2. A única parte que depende de é .
  3. Aplicamos a regra da cadeia:

Passo 6

Parte (e)

Função: partial zpartial x = 2x cdot ln(1 + x^2 + y^2) + x^2 cdot 2x1 + x^2 + y^2
Derivada parcial em relação a partial zpartial x = 2x ln(1 + x^2 + y^2) + 2x^31 + x^2 + y^2 :
  1. Identificamos partial zpartial y = x^2 cdot 2y1 + x^2 + y^2 = 2x^2 y1 + x^2 + y^2 como o produto de e .
  2. Aplicamos a regra do produto:
  3. Simplificando:
Derivada parcial em relação a :
  1. Derivamos em relação a , tratando como constante.
  2. Aplicamos a regra da cadeia:

Passo 7

Parte (f)

Função: partial zpartial x = y e^x y + x y cdot y e^x y = y e^x y (1 + x y)
Derivada parcial em relação a partial zpartial y = x e^x y + x y cdot x e^x y = x e^x y (1 + x y) :
  1. Identificamos como o produto de e .
  2. Aplicamos a regra do produto:
Derivada parcial em relação a :
  1. De forma semelhante, aplicamos a regra do produto:

Passo 8

Parte (g)

Função: partial zpartial x = sin y cdot cos(x^2 + y^2) - x sin y cdot (-2x sin(x^2 + y^2)) cos^2(x^2 + y^2)
Derivada parcial em relação a partial zpartial x = sin y cos(x^2 + y^2) + 2x^2 sin y sin(x^2 + y^2) cos^2(x^2 + y^2) :
  1. Aplicamos a regra do quociente: partial zpartial y = x cos y cdot cos(x^2 + y^2) - x sin y cdot (-2y sin(x^2 + y^2)) cos^2(x^2 + y^2) .
  2. Identificamos:
    • partial zpartial y = x cos y cos(x^2 + y^2) + 2x y sin y sin(x^2 + y^2) cos^2(x^2 + y^2) , então
    • , então (regra da cadeia)
  3. Aplicamos a regra:
  4. Simplificando:
Derivada parcial em relação a :
  1. Aplicamos a regra do quociente novamente.
  2. Identificamos:
    • , então
    • , então
  3. Aplicamos a regra:
  4. Simplificando:

Passo 9

Parte (h)

Função: partial fpartial x = cos^2 x
Derivada parcial em relação a partialpartial y integraly^x cos^2 t , dt = -cos^2 y :
  1. Aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo: .
  2. Portanto:
Derivada parcial em relação a :
  1. Aplicamos a mesma regra, mas com cuidado com o limite inferior:

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem de cada função são:
a)
partial fpartial x = 5x^4 + 9x^2 y^2 + 3y^4
partial fpartial y = 6x^3 y + 12x y^3
b)
partial fpartial x = 2y(x + y)^2
partial fpartial y = -2x(x + y)^2
c)
partial upartial xi = xiu para cada i = 1, 2, dots, n
d)
partial upartial t = e^wt (1 - wt)
partial upartial w = e^wt
e)
partial zpartial x = 2x ln(1 + x^2 + y^2) + 2x^31 + x^2 + y^2
partial zpartial y = 2x^2 y1 + x^2 + y^2
f)
partial zpartial x = y e^x y (1 + x y)
partial zpartial y = x e^x y (1 + x y)
g)
partial zpartial x = sin y cos(x^2 + y^2) + 2x^2 sin y sin(x^2 + y^2) cos^2(x^2 + y^2)
partial zpartial y = x cos y cos(x^2 + y^2) + 2x y sin y sin(x^2 + y^2) cos^2(x^2 + y^2)
h)
partial fpartial x = cos^2 x
partial fpartial y = -cos^2 y

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