Determine as derivadas parciais de primeira ordem de cada função:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)

Passo 1

E aí! Vamos resolver um exercício sobre derivadas parciais de primeira ordem. Precisamos encontrar as derivadas em relação a cada variável para cada função dada. Para isso, vamos usar regras básicas de derivação, como a regra do poder, regra do produto, regra do quociente e o teorema fundamental do cálculo. Vamos lá?

Passo 2

Parte (a)

Função:
Derivada parcial em relação a :
  1. Derivamos cada termo em relação a , tratando como constante.
  2. Aplicamos a regra do poder:
  3. Somamos as derivadas:
Derivada parcial em relação a :
  1. Derivamos cada termo em relação a , tratando como constante.
  2. Aplicamos a regra do poder:
    • (pois não depende de )
  3. Somamos as derivadas:

Passo 3

Parte (b)

Função:
Derivada parcial em relação a :
  1. Aplicamos a regra do quociente: se , então .
  2. Identificamos e .
  3. Calculamos as derivadas:
  4. Aplicamos a fórmula:
Derivada parcial em relação a :
  1. Novamente, aplicamos a regra do quociente.
  2. Calculamos as derivadas:
  3. Aplicamos a fórmula:

Passo 4

Parte ©

Função:
Derivadas parciais em relação a cada :
  1. Reescrevemos a função como .
  2. Aplicamos a regra da cadeia: .
  3. Derivando em relação a :

Passo 5

Parte (d)

Função:
Derivada parcial em relação a :
  1. Identificamos que é o produto de e .
  2. Aplicamos a regra do produto: .
  3. Derivando:
    • , então
    • , então (usando a regra da cadeia)
  4. Aplicamos a regra:
Derivada parcial em relação a :
  1. Derivamos em relação a , tratando como constante.
  2. A única parte que depende de é .
  3. Aplicamos a regra da cadeia:

Passo 6

Parte (e)

Função:
Derivada parcial em relação a :
  1. Identificamos como o produto de e .
  2. Aplicamos a regra do produto:
  3. Simplificando:
Derivada parcial em relação a :
  1. Derivamos em relação a , tratando como constante.
  2. Aplicamos a regra da cadeia:

Passo 7

Parte (f)

Função:
Derivada parcial em relação a :
  1. Identificamos como o produto de e .
  2. Aplicamos a regra do produto:
Derivada parcial em relação a :
  1. De forma semelhante, aplicamos a regra do produto:

Passo 8

Parte (g)

Função:
Derivada parcial em relação a :
  1. Aplicamos a regra do quociente: .
  2. Identificamos:
    • , então
    • , então (regra da cadeia)
  3. Aplicamos a regra:
  4. Simplificando:
Derivada parcial em relação a :
  1. Aplicamos a regra do quociente novamente.
  2. Identificamos:
    • , então
    • , então
  3. Aplicamos a regra:
  4. Simplificando:

Passo 9

Parte (h)

Função:
Derivada parcial em relação a :
  1. Aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo: .
  2. Portanto:
Derivada parcial em relação a :
  1. Aplicamos a mesma regra, mas com cuidado com o limite inferior:

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem de cada função são:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)

Exercícios relacionados

Inverta a ordem de integração.
(h)
Calcule:
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