Determine as derivadas parciais de primeira ordem de cada função:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
Passo 1
E aí! Vamos resolver um exercício sobre derivadas parciais de primeira ordem. Precisamos encontrar as derivadas em relação a cada variável para cada função dada. Para isso, vamos usar regras básicas de derivação, como a regra do poder, regra do produto, regra do quociente e o teorema fundamental do cálculo. Vamos lá?
Passo 2
Parte (a)
Função:
Derivada parcial em relação a
:
- Derivamos cada termo em relação a
, tratando como constante. - Aplicamos a regra do poder:
-
- Somamos as derivadas:
Derivada parcial em relação a
:
- Derivamos cada termo em relação a
, tratando como constante. - Aplicamos a regra do poder:
-
(pois não depende de ) -
-
-
- Somamos as derivadas:
Passo 3
Parte (b)
Função:
Derivada parcial em relação a
:
- Aplicamos a regra do quociente: se
, então . - Identificamos
e . - Calculamos as derivadas:
-
- Aplicamos a fórmula:
Derivada parcial em relação a
:
- Novamente, aplicamos a regra do quociente.
- Calculamos as derivadas:
-
- Aplicamos a fórmula:
Passo 4
Parte ©
Função:
Derivadas parciais em relação a cada
:
- Reescrevemos a função como
. - Aplicamos a regra da cadeia:
. - Derivando em relação a
:
Passo 5
Parte (d)
Função:
Derivada parcial em relação a
:
- Identificamos que
é o produto de e . - Aplicamos a regra do produto:
. - Derivando:
-
, então -
, então (usando a regra da cadeia)
-
- Aplicamos a regra:
Derivada parcial em relação a
:
- Derivamos
em relação a , tratando como constante. - A única parte que depende de
é . - Aplicamos a regra da cadeia:
Passo 6
Parte (e)
Função:
Derivada parcial em relação a
:
- Identificamos
como o produto de e . - Aplicamos a regra do produto:
- Simplificando:
Derivada parcial em relação a
:
- Derivamos
em relação a , tratando como constante. - Aplicamos a regra da cadeia:
Passo 7
Parte (f)
Função:
Derivada parcial em relação a
:
- Identificamos
como o produto de e . - Aplicamos a regra do produto:
Derivada parcial em relação a
:
- De forma semelhante, aplicamos a regra do produto:
Passo 8
Parte (g)
Função:
Derivada parcial em relação a
:
- Aplicamos a regra do quociente:
. - Identificamos:
-
, então -
, então (regra da cadeia)
-
- Aplicamos a regra:
- Simplificando:
Derivada parcial em relação a
:
- Aplicamos a regra do quociente novamente.
- Identificamos:
-
, então -
, então
-
- Aplicamos a regra:
- Simplificando:
Passo 9
Parte (h)
Função:
Derivada parcial em relação a
:
- Aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo:
. - Portanto:
Derivada parcial em relação a
:
- Aplicamos a mesma regra, mas com cuidado com o limite inferior:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem de cada função são:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
Exercícios relacionados
Inverta a ordem de integração.
(h)
(h)
Calcule:
Analise as seguintes integrais impróprias, indicando quando elas divergem e calculando-as, caso contrário:
Use as substituições trigonométricas para calcular: