Seja
.
(a) Calcule
.
(b) Determine o domínio de
.
© Determine a imagem de
.
(a) Calcule
(b) Determine o domínio de
© Determine a imagem de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função
. O que precisamos fazer é:
a) Calcular o valor da função quando
,
e
.
b) Encontrar o domínio da função, ou seja, para quais valores de
,
e
a função está definida.
c) Determinar a imagem da função, que são todos os possíveis valores que
pode assumir.
Vamos por partes!
Passo 2
a) Calcular
.
Primeiro, vamos substituir
,
e
na função:
Simplificando os quadrados:
Sabemos que
.
Passo 3
b) Determinar o domínio de
.
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores das variáveis para os quais a função está definida. No caso da nossa função
, o argumento do logaritmo precisa ser positivo, pois o logaritmo natural não está definido para números menores ou iguais a zero.
Então, temos a condição:
Rearranjando:
Essa inequação representa o interior de uma esfera com raio 5 centrada na origem.
Passo 4
c) Determinar a imagem de
.
A imagem da função são todos os valores que
pode assumir. Sabendo que
, vamos analisar os possíveis valores desse termo dentro do logaritmo.
O menor valor possível de
é quando
é máximo, ou seja, próximo de 25 (mas sempre menor). Assim,
varia de 0 a 25.
Aplicando o logaritmo natural:
Porque quando
tende a 0,
tende a
, e quando
se aproxima de 25, o logaritmo se aproxima de
.
Resposta
a)
b) O domínio de
é
c) A imagem de
é
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(a)
(g)
(n)
(b)
(h)
(o)
©
(i)
(j)
§
(d)
(k)
(q)
(e)
(l)
®
(f)
(m)
(s)
(g)
(n)
(b)
(h)
(o)
©
(i)
(j)
§
(d)
(k)
(q)
(e)
(l)
®
(f)
(m)
(s)