Seja f(x, y, z) = ln(25 - x^2 - y^2 - z^2).
(a) Calcule f(2, -2, 4).
(b) Determine o domínio de f.
© Determine a imagem de f.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função . O que precisamos fazer é:
a) Calcular o valor da função quando , e .
b) Encontrar o domínio da função, ou seja, para quais valores de , e a função está definida.
c) Determinar a imagem da função, que são todos os possíveis valores que pode assumir.
Vamos por partes!

Passo 2

a) Calcular .
Primeiro, vamos substituir , e na função:
Simplificando os quadrados:
Sabemos que .

Passo 3

b) Determinar o domínio de .
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores das variáveis para os quais a função está definida. No caso da nossa função , o argumento do logaritmo precisa ser positivo, pois o logaritmo natural não está definido para números menores ou iguais a zero.
Então, temos a condição:
Rearranjando:
Essa inequação representa o interior de uma esfera com raio 5 centrada na origem.

Passo 4

c) Determinar a imagem de .
A imagem da função são todos os valores que pode assumir. Sabendo que , vamos analisar os possíveis valores desse termo dentro do logaritmo.
O menor valor possível de é quando é máximo, ou seja, próximo de 25 (mas sempre menor). Assim, varia de 0 a 25.
Aplicando o logaritmo natural:
Porque quando tende a 0, tende a , e quando se aproxima de 25, o logaritmo se aproxima de .

Resposta

a)
b) O domínio de é
c) A imagem de é

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