Inverta a ordem de integração.
(h)
(h)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de cálculo que pede para inverter a ordem de integração de uma integral dupla. Isso faz parte do estudo de integrais múltiplas, especificamente de como mudar a ordem de integração para facilitar os cálculos. Para resolver isso, vamos precisar entender os limites de integração atuais e redesenhá-los para trocar as variáveis de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites de integração que a gente tem. A integral original é:
Aqui,
varia de
a
, e para cada
,
varia de
até
.
Passo 3
Vamos desenhar mentalmente a região de integração no plano
. Para isso, vamos analisar as curvas que definem os limites de
:
-
é uma linha reta que passa pela origem. -
é metade superior de uma parábola.
Queremos encontrar os pontos de interseção dessas duas curvas para definir os novos limites.
Passo 4
Igualando as duas expressões para
:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Adicionando
aos dois lados:
Dividindo ambos os lados por
:
Multiplicando ambos os lados por 3:
Subtraindo
:
Fatorando:
Então,
ou
. Portanto, os limites de
começam na linha
e chegam até a parábola
, de
a
.
Passo 5
Agora, vamos inverter a ordem de integração, ou seja, integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
. Para isso, precisamos reescrever os limites:
-
vai de até o valor máximo, que é quando na parábola:
Então,
varia de
a
.
- Para cada
, varia de acordo com as duas curvas. A curva resolvendo para :
E a parábola resolvendo para
:
Usando a fórmula de Bhaskara para resolver essa equação quadrática em
:
Considerando que
deve ser menor que
, pegamos a solução:
Passo 6
Agora, juntando tudo, os novos limites de integração ficam:
-
varia de a . - Para cada
, varia de até .
Então, a integral com a ordem de integração invertida fica:
Resposta
A ordem de integração invertida é:
Exercícios relacionados
Calcule:
Utilizando integral dupla, calcule a área do conjunto
dado.
© é determinado pelas desigualdades
e
.
©
Determine as derivadas parciais de primeira ordem de cada função:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
Analise as seguintes integrais impróprias, indicando quando elas divergem e calculando-as, caso contrário: