Inverta a ordem de integração.
(h) integral0^3 a[integralraiz33 x^raiz4 a x-x^2 f(x, y) d y] d x(a>0)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de cálculo que pede para inverter a ordem de integração de uma integral dupla. Isso faz parte do estudo de integrais múltiplas, especificamente de como mudar a ordem de integração para facilitar os cálculos. Para resolver isso, vamos precisar entender os limites de integração atuais e redesenhá-los para trocar as variáveis de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração que a gente tem. A integral original é:
integral0^3a [ integralraiz33 x^raiz4ax - x^2 f(x, y) , dy ] dx
Aqui, varia de a , e para cada , varia de até .

Passo 3

Vamos desenhar mentalmente a região de integração no plano . Para isso, vamos analisar as curvas que definem os limites de :
  1. é uma linha reta que passa pela origem.
  2. é metade superior de uma parábola.
Queremos encontrar os pontos de interseção dessas duas curvas para definir os novos limites.

Passo 4

Igualando as duas expressões para raiz33 x = raiz4ax - x^2 :
( raiz33 x )^2 = 4ax - x^2
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
39 x^2 = 4ax - x^2
13 x^2 = 4ax - x^2
43 x^2 = 4ax
Adicionando 13 x^2 = ax aos dois lados:
x^2 = 3ax
Dividindo ambos os lados por x^2 - 3ax = 0 :
x(x - 3a) = 0
Multiplicando ambos os lados por 3:
Subtraindo :
Fatorando:
Então, ou . Portanto, os limites de começam na linha e chegam até a parábola , de a .

Passo 5

Agora, vamos inverter a ordem de integração, ou seja, integrar primeiro em relação a y = raiz4a(3a) - (3a)^2 = raiz12a^2 - 9a^2 = raiz3a^2 = araiz3 e depois em relação a x = 3raiz3 y = raiz3 y . Para isso, precisamos reescrever os limites:
  1. y = raiz4ax - x^2 implies y^2 = 4ax - x^2 implies x^2 - 4ax + y^2 = 0 vai de x = 4a pm raiz(4a)^2 - 4 cdot 1 cdot y^22 = 4a pm raiz16a^2 - 4y^22 = 2a pm raiz4a^2 - y^2 até o valor máximo, que é quando x = 2a - raiz4a^2 - y^2 na parábola:
Então, varia de a .
  1. Para cada , varia de acordo com as duas curvas. A curva resolvendo para :
E a parábola resolvendo para :
Usando a fórmula de Bhaskara para resolver essa equação quadrática em :
Considerando que deve ser menor que , pegamos a solução:

Passo 6

Agora, juntando tudo, os novos limites de integração ficam:
  • integral0^araiz3 [ integral2a - raiz4a^2 - y^2^raiz3 y f(x, y) , dx ] dy varia de a .
  • Para cada , varia de até .
Então, a integral com a ordem de integração invertida fica:

Resposta

A ordem de integração invertida é:
integral0^araiz3 [ integral2a - raiz4a^2 - y^2^raiz3 y f(x, y) , dx ] dy

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