Inverta a ordem de integração.
(h)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de cálculo que pede para inverter a ordem de integração de uma integral dupla. Isso faz parte do estudo de integrais múltiplas, especificamente de como mudar a ordem de integração para facilitar os cálculos. Para resolver isso, vamos precisar entender os limites de integração atuais e redesenhá-los para trocar as variáveis de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração que a gente tem. A integral original é:
Aqui, varia de a , e para cada , varia de até .

Passo 3

Vamos desenhar mentalmente a região de integração no plano . Para isso, vamos analisar as curvas que definem os limites de :
  1. é uma linha reta que passa pela origem.
  2. é metade superior de uma parábola.
Queremos encontrar os pontos de interseção dessas duas curvas para definir os novos limites.

Passo 4

Igualando as duas expressões para :
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Adicionando aos dois lados:
Dividindo ambos os lados por :
Multiplicando ambos os lados por 3:
Subtraindo :
Fatorando:
Então, ou . Portanto, os limites de começam na linha e chegam até a parábola , de a .

Passo 5

Agora, vamos inverter a ordem de integração, ou seja, integrar primeiro em relação a e depois em relação a . Para isso, precisamos reescrever os limites:
  1. vai de até o valor máximo, que é quando na parábola:
Então, varia de a .
  1. Para cada , varia de acordo com as duas curvas. A curva resolvendo para :
E a parábola resolvendo para :
Usando a fórmula de Bhaskara para resolver essa equação quadrática em :
Considerando que deve ser menor que , pegamos a solução:

Passo 6

Agora, juntando tudo, os novos limites de integração ficam:
  • varia de a .
  • Para cada , varia de até .
Então, a integral com a ordem de integração invertida fica:

Resposta

A ordem de integração invertida é:

Exercícios relacionados

Calcule:
Utilizando integral dupla, calcule a área do conjunto dado.
© é determinado pelas desigualdades e .
Determine as derivadas parciais de primeira ordem de cada função:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
Analise as seguintes integrais impróprias, indicando quando elas divergem e calculando-as, caso contrário: