Analise as sequências.
Dê um exemplo de sequência
e
que satisfaçam simultaneamente as condições:
para
,
,
Dê um exemplo de sequência
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar duas sequências,
e
, que satisfaçam as seguintes condições:
-
para todo , -
, -
, -
.
Vamos precisar entender como funcionam os limites de sequências e como escolher
e
de forma que essas condições sejam atendidas.
Passo 2
Vamos começar escolhendo
e
de forma simples. Uma maneira fácil de garantir que
tende a
e
tende a
é definir:
Passo 3
Agora, vamos verificar se essas escolhas satisfazem todas as condições:
-
para todo :
Comoe , nunca será zero. Portanto, essa condição está satisfeita. -
:
Claramente, à medida queaumenta, também aumenta sem limites. Então, o limite é . -
:
Da mesma forma,diminui sem limites conforme aumenta, então o limite é . -
:
Vamos calcular o limite:O resultado foi, que não é . Então, precisamos ajustar nossas sequências.
Passo 4
Vamos tentar outra abordagem. Vamos escolher
e
.
Vamos verificar novamente as condições:
-
para todo :
ainda nunca é zero. -
:
tende a . -
:
tende a . -
:
Agora sim, o limite é.
Resposta
Um exemplo que satisfaz todas as condições é:
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Os engenheiros de produção de uma empresa estimam que um determinado poço produzirá gás natural a uma taxa dada por
milhares de metros cubbicos, onde t e o tempo desde o inicio da produção. Estime a quantidade total de gás natural que poderá ser extraída desse poço.
Determine se a integral diverge ou converge e, nesse último caso, calcule a integral:
Determine, descreva e represente geometricamente o domínio das funções abaixo:
.
3 b.)