Analise as sequências.
Dê um exemplo de sequência e que satisfaçam simultaneamente as condições:
para ,
,

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar duas sequências, e , que satisfaçam as seguintes condições:
  1. para todo ,
  2. ,
  3. ,
  4. .
Vamos precisar entender como funcionam os limites de sequências e como escolher e de forma que essas condições sejam atendidas.

Passo 2

Vamos começar escolhendo e de forma simples. Uma maneira fácil de garantir que tende a e tende a é definir:

Passo 3

Agora, vamos verificar se essas escolhas satisfazem todas as condições:
  1. para todo :
    Como e , nunca será zero. Portanto, essa condição está satisfeita.
  2. :
    Claramente, à medida que aumenta, também aumenta sem limites. Então, o limite é .
  3. :
    Da mesma forma, diminui sem limites conforme aumenta, então o limite é .
  4. :
    Vamos calcular o limite:
    O resultado foi , que não é . Então, precisamos ajustar nossas sequências.

Passo 4

Vamos tentar outra abordagem. Vamos escolher e .
Vamos verificar novamente as condições:
  1. para todo :
    ainda nunca é zero.
  2. :
    tende a .
  3. :
    tende a .
  4. :
    Agora sim, o limite é .

Resposta

Um exemplo que satisfaz todas as condições é:

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3 b.)