Determine se a integral diverge ou converge e, nesse último caso, calcule a integral:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a integral
converge ou diverge. Se ela convergir, a gente também vai calcular o valor dela. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especialmente sobre integrais impróprias, já que o denominador
se anula em
, que está dentro do intervalo de integração de 0 a 2.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o problema: na função
, o denominador se torna zero quando
, causando uma descontinuidade. Isso significa que a integral pode ser imprópria nesse ponto, já que estamos tentando integrar próximo a uma divisão por zero. Para tratar isso, vamos dividir a integral em duas partes, separando o ponto problemático
.
Passo 3
Então, reescrevemos a integral como a soma de duas integrais, uma de 0 a 1 e outra de 1 a 2:
Passo 4
Agora, vamos analisar cada uma dessas integrais separadamente como limites, já que estamos lidando com uma descontinuidade em
.
Para a primeira parte, de 0 a 1:
E para a segunda parte, de 1 a 2:
Passo 5
Vamos calcular a antiderivada da função
. Sabemos que:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, aplicamos a antiderivada nas integrais definidas.
Para a primeira parte:
À medida que
se aproxima de 1 pela esquerda,
se aproxima de 0 por valores negativos, então
tende a
. Portanto, a primeira integral diverge para
.
Passo 7
Como uma das partes da integral diverge, não há necessidade de calcular a segunda parte, pois se qualquer uma das integrais divergentes, a integral original também diverge.
Resposta
A integral
diverge para
.