Determine se a integral diverge ou converge e, nesse último caso, calcule a integral:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a integral converge ou diverge. Se ela convergir, a gente também vai calcular o valor dela. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especialmente sobre integrais impróprias, já que o denominador se anula em , que está dentro do intervalo de integração de 0 a 2.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o problema: na função , o denominador se torna zero quando , causando uma descontinuidade. Isso significa que a integral pode ser imprópria nesse ponto, já que estamos tentando integrar próximo a uma divisão por zero. Para tratar isso, vamos dividir a integral em duas partes, separando o ponto problemático .

Passo 3

Então, reescrevemos a integral como a soma de duas integrais, uma de 0 a 1 e outra de 1 a 2:

Passo 4

Agora, vamos analisar cada uma dessas integrais separadamente como limites, já que estamos lidando com uma descontinuidade em .
Para a primeira parte, de 0 a 1:
E para a segunda parte, de 1 a 2:

Passo 5

Vamos calcular a antiderivada da função . Sabemos que:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, aplicamos a antiderivada nas integrais definidas.
Para a primeira parte:
À medida que se aproxima de 1 pela esquerda, se aproxima de 0 por valores negativos, então tende a . Portanto, a primeira integral diverge para .

Passo 7

Como uma das partes da integral diverge, não há necessidade de calcular a segunda parte, pois se qualquer uma das integrais divergentes, a integral original também diverge.

Resposta

A integral diverge para .

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,