Determine se a integral diverge ou converge e, nesse último caso, calcule a integral:
integral0^2 1(x-1)^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a integral integral0^2 1(x-1)^2 dx converge ou diverge. Se ela convergir, a gente também vai calcular o valor dela. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especialmente sobre integrais impróprias, já que o denominador (x-1)^2 se anula em x=1, que está dentro do intervalo de integração de 0 a 2.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o problema: na função 1(x-1)^2, o denominador se torna zero quando x=1, causando uma descontinuidade. Isso significa que a integral pode ser imprópria nesse ponto, já que estamos tentando integrar próximo a uma divisão por zero. Para tratar isso, vamos dividir a integral em duas partes, separando o ponto problemático x=1.

Passo 3

Então, reescrevemos a integral como a soma de duas integrais, uma de 0 a 1 e outra de 1 a 2:
integral0^2 1(x-1)^2 dx = integral0^1 1(x-1)^2 dx + integral1^2 1(x-1)^2 dx

Passo 4

Agora, vamos analisar cada uma dessas integrais separadamente como limites, já que estamos lidando com uma descontinuidade em x=1.
Para a primeira parte, de 0 a 1:
lima to 1^- integral0^a 1(x-1)^2 dx
E para a segunda parte, de 1 a 2:
limb to 1^+ integralb^2 1(x-1)^2 dx

Passo 5

Vamos calcular a antiderivada da função 1(x-1)^2. Sabemos que:
integral 1(x-1)^2 dx = -1x-1 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Agora, aplicamos a antiderivada nas integrais definidas.
Para a primeira parte:
lima to 1^- [ -1x-1 ]0^a = lima to 1^- ( -1a-1 + 10-1 ) = lima to 1^- ( -1a-1 -1 )
À medida que a se aproxima de 1 pela esquerda, a-1 se aproxima de 0 por valores negativos, então -1a-1 tende a +infty. Portanto, a primeira integral diverge para +infty.

Passo 7

Como uma das partes da integral diverge, não há necessidade de calcular a segunda parte, pois se qualquer uma das integrais divergentes, a integral original também diverge.

Resposta

A integral integral0^2 1(x-1)^2 dx diverge para +infty.

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