3 b.)
r lim h 0 sen(x+h)-sen(x)h= =lim h 0 sen(h / 2)h / 2 cos (x+h2)= =lim h 0 sen(h / 2)h / 2 lim h 0 cos (x+h2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um limite envolvendo a função seno. Basicamente, queremos calcular:
lim h 0 sen(x+h)-sen(x)h
Esse tipo de limite é fundamental no estudo de derivadas na matéria de Cálculo Diferencial. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas propriedades de limites e identidades trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão usando uma identidade trigonométrica. Sabemos que:
sen(x + h) - sen(x) = 2 sen(h2) cos(x + h2)
Substituindo isso na nossa expressão original, temos:
sen(x+h)-sen(x)h = 2 sen(h2) cos(x + h2)h

Passo 3

Podemos simplificar essa fração dividindo e multiplicando por 2:
2 sen(h2)h cdot cos(x + h2) = sen(h2)h2 cdot cos(x + h2)

Passo 4

Agora, vamos separar os limites:
lim h 0 sen(h2)h2 cdot lim h 0 cos(x + h2)
Sabemos que:
lim u 0 sen(u)u = 1
E que a função cosseno é contínua, então:
lim h 0 cos(x + h2) = cos(x)

Resposta

Multiplicando os limites, temos:
1 cdot cos(x) = cos(x)
Portanto,
lim h 0 sen(x+h)-sen(x)h = cos(x)

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