Determine, descreva e represente geometricamente o domínio das funções abaixo: .
Passo 1
Beleza, a gente tem a função e precisa descobrir qual é o domínio dela. Isso faz parte do conteúdo de funções multivariadas. Para resolver, vamos precisar entender quando o logaritmo está definido, ou seja, quando o que está dentro do é positivo.
Passo 2
Primeiro, lembre que o logaritmo natural só existe se . Então, para a nossa função, precisamos que:
Passo 3
Vamos rearranjar essa inequação para facilitar a visualização:
Isso significa que a soma dos quadrados de , e deve ser menor que 16.
Passo 4
Essa inequação representa um elipsoide no espaço. Um elipsoide é como uma esfera "esfregada" nos eixos, dependendo dos coeficientes. Aqui, os termos e têm o mesmo coeficiente, e o termo indica que o eixo está comprimido.
Passo 5
Para visualizar melhor, podemos escrever a inequação assim:
Isso mostra claramente que o elipsoide tem semi-eixos de comprimento 4 em e , e de 2 em .
Resposta
O domínio da função é o conjunto de todos os pontos que satisfazem . Geometricamente, isso corresponde ao interior de um elipsoide centrado na origem, com semi-eixos de comprimento 4 nas direções e , e 2 na direção .
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para ,
,
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3 b.)
Represente geometricamente as superfícies de equações: ;