Determine, descreva e represente geometricamente o domínio das funções abaixo:
.
Passo 1
Beleza, a gente tem a função
e precisa descobrir qual é o domínio dela. Isso faz parte do conteúdo de funções multivariadas. Para resolver, vamos precisar entender quando o logaritmo está definido, ou seja, quando o que está dentro do
é positivo.
Passo 2
Primeiro, lembre que o logaritmo natural
só existe se
. Então, para a nossa função, precisamos que:
Passo 3
Vamos rearranjar essa inequação para facilitar a visualização:
Isso significa que a soma dos quadrados de
,
e
deve ser menor que 16.
Passo 4
Essa inequação representa um elipsoide no espaço. Um elipsoide é como uma esfera “esfregada” nos eixos, dependendo dos coeficientes. Aqui, os termos
e
têm o mesmo coeficiente, e o termo
indica que o eixo
está comprimido.
Passo 5
Para visualizar melhor, podemos escrever a inequação assim:
Isso mostra claramente que o elipsoide tem semi-eixos de comprimento 4 em
e
, e de 2 em
.
Resposta
O domínio da função é o conjunto de todos os pontos
que satisfazem
. Geometricamente, isso corresponde ao interior de um elipsoide centrado na origem, com semi-eixos de comprimento 4 nas direções
e
, e 2 na direção
.