Determine, descreva e represente geometricamente o domínio das funções abaixo: f(x, y, z) = ln(16 - x^2 - y^2 - 4z^2).

Passo 1

Beleza, a gente tem a função e precisa descobrir qual é o domínio dela. Isso faz parte do conteúdo de funções multivariadas. Para resolver, vamos precisar entender quando o logaritmo está definido, ou seja, quando o que está dentro do é positivo.

Passo 2

Primeiro, lembre que o logaritmo natural só existe se . Então, para a nossa função, precisamos que:

Passo 3

Vamos rearranjar essa inequação para facilitar a visualização:
Isso significa que a soma dos quadrados de , e deve ser menor que 16.

Passo 4

Essa inequação representa um elipsoide no espaço. Um elipsoide é como uma esfera “esfregada” nos eixos, dependendo dos coeficientes. Aqui, os termos e têm o mesmo coeficiente, e o termo indica que o eixo está comprimido.

Passo 5

Para visualizar melhor, podemos escrever a inequação assim:
Isso mostra claramente que o elipsoide tem semi-eixos de comprimento 4 em e , e de 2 em .

Resposta

O domínio da função é o conjunto de todos os pontos que satisfazem . Geometricamente, isso corresponde ao interior de um elipsoide centrado na origem, com semi-eixos de comprimento 4 nas direções e , e 2 na direção .

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