Os engenheiros de produção de uma empresa estimam que um determinado poço produzirá gás natural a uma taxa dada por milhares de metros cubbicos, onde t e o tempo desde o inicio da produção. Estime a quantidade total de gás natural que poderá ser extraída desse poço.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A pergunta fala sobre a produção de gás natural de um poço. A taxa de produção é dada por milhares de metros cúbicos, onde é o tempo desde o início da produção. Nosso objetivo aqui é estimar a quantidade total de gás que será extraída desse poço. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente integração, que nos ajuda a acumular quantidades contínuas ao longo do tempo.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a taxa de produção nos diz quanto gás está sendo produzido em cada instante de tempo . Para encontrar a quantidade total de gás extraído, devemos somar todas essas pequenas quantidades ao longo de todo o período de produção. Matemáticamente, isso é representado pela integral de em relação a de 0 até o infinito:

Passo 3

Agora, vamos tentar resolver essa integral. Para facilitar, fazemos uma substituição: seja . Então, e . Substituindo na integral, temos:

Passo 4

Observamos que a integral agora é:
Entretanto, precisamos analisar se essa integral converge, ou seja, se ela resulta em um valor finito. Para isso, observamos o comportamento da função quando tende ao infinito. Sabemos que cresce muito mais rápido do que , o que faz com que a função não tenha um limite finito nesse caso. Portanto, a integral diverge.

Resposta

A quantidade total de gás natural que poderá ser extraída desse poço é infinita.

Exercícios relacionados

Determine se a integral diverge ou converge e, nesse último caso, calcule a integral:
Determine se as sequências convergem ou divergem e encontre o seu limite.
Analise as sequências.
Dê um exemplo de sequência e que satisfaçam simultaneamente as condições:
para ,
,

Determine, descreva e represente geometricamente o domínio das funções abaixo: .