Os engenheiros de produção de uma empresa estimam que um determinado poço produzirá gás natural a uma taxa dada por
milhares de metros cubbicos, onde t e o tempo desde o inicio da produção. Estime a quantidade total de gás natural que poderá ser extraída desse poço.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A pergunta fala sobre a produção de gás natural de um poço. A taxa de produção é dada por
milhares de metros cúbicos, onde
é o tempo desde o início da produção. Nosso objetivo aqui é estimar a quantidade total de gás que será extraída desse poço. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente integração, que nos ajuda a acumular quantidades contínuas ao longo do tempo.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que a taxa de produção
nos diz quanto gás está sendo produzido em cada instante de tempo
. Para encontrar a quantidade total de gás extraído, devemos somar todas essas pequenas quantidades ao longo de todo o período de produção. Matemáticamente, isso é representado pela integral de
em relação a
de 0 até o infinito:
Passo 3
Agora, vamos tentar resolver essa integral. Para facilitar, fazemos uma substituição: seja
. Então,
e
. Substituindo na integral, temos:
Passo 4
Observamos que a integral agora é:
Entretanto, precisamos analisar se essa integral converge, ou seja, se ela resulta em um valor finito. Para isso, observamos o comportamento da função
quando
tende ao infinito. Sabemos que
cresce muito mais rápido do que
, o que faz com que a função não tenha um limite finito nesse caso. Portanto, a integral diverge.
Resposta
A quantidade total de gás natural que poderá ser extraída desse poço é infinita.