A análise de uma série de máximas vazões anuais apresentou os seguintes resultados:
- Média das máximas anuais:
.
- Fatores de frequência (Gumbel) para períodos de recorrência de 10 e 100 anos respectivamente iguais a 1,625 (
anos) e 3,836 (
anos).
- Desvio padrão da série de máximas vazões:
.
- Determinar, a partir desses dados, as vazões de enchente correspondentes a períodos de recorrência de 10, 100 e 1000 anos.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dados sobre as vazões máximas anuais de enchentes e precisa encontrar as vazões correspondentes a períodos de recorrência de 10, 100 e 1000 anos. Para isso, vamos usar a distribuição de Gumbel, que é uma ferramenta bem usada para analisar eventos extremos como enchentes. Vamos precisar da média das vazões, do desvio padrão e dos fatores de frequência fornecidos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é período de recorrência. É o intervalo de tempo esperado entre dois eventos de mesma magnitude, tipo enchentes dessa vez. Por exemplo, um período de recorrência de 10 anos significa que, em média, a enchente dessa intensidade ocorre a cada 10 anos.
A distribuição de Gumbel nos ajuda a relacionar essas probabilidades com as vazões máximas. A fórmula básica que vamos usar é:
Onde:
- $ Q_{\mathrm{Tr}} $ é a vazão correspondente ao período de recorrência $ \mathrm{Tr} $.
- $ \overline{Q} $ é a média das vazões máximas anuais.
- $ F $ é o fator de frequência para o período $ \mathrm{Tr} $.
- $ \sigma $ é o desvio padrão das vazões.
Passo 3
Vamos calcular a vazão para um período de recorrência de 10 anos ($ \mathrm{Tr} = 10 $ anos). Já temos o fator de frequência para esse período, que é $ 1,625 $, a média $ 1200 , \mathrm{m}^3/\mathrm{s} $ e o desvio padrão $ 400 , \mathrm{m}^3/\mathrm{s} $.
Aplicando a fórmula:
Passo 4
Agora, vamos ao período de recorrência de 100 anos ($ \mathrm{Tr} = 100 $ anos). O fator de frequência para esse período é $ 3,836 $.
Usando a mesma fórmula:
Passo 5
Por último, precisamos calcular a vazão para um período de recorrência de 1000 anos ($ \mathrm{Tr} = 1000 $ anos). Embora o fator de frequência para esse período não tenha sido fornecido diretamente, podemos usar a fórmula da distribuição de Gumbel para encontrá-lo:
Substituindo $ \mathrm{Tr} = 1000 $:
Agora, aplicando a fórmula da vazão:
Resposta
As vazões de enchente correspondentes aos períodos de recorrência solicitados são:
- 10 anos: $ 1850 , \mathrm{m}^3/\mathrm{s} $
- 100 anos: $ 2734,4 , \mathrm{m}^3/\mathrm{s} $
- 1000 anos: $ 3354 , \mathrm{m}^3/\mathrm{s} $