A análise de uma série de máximas vazões anuais apresentou os seguintes resultados:
  • Média das máximas anuais: 1200 m^3 / s.
  • Fatores de frequência (Gumbel) para períodos de recorrência de 10 e 100 anos respectivamente iguais a 1,625 ( Tr=10 anos) e 3,836 ( Tr=100 anos).
  • Desvio padrão da série de máximas vazões: 400 m^3 / s.
  • Determinar, a partir desses dados, as vazões de enchente correspondentes a períodos de recorrência de 10, 100 e 1000 anos.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dados sobre as vazões máximas anuais de enchentes e precisa encontrar as vazões correspondentes a períodos de recorrência de 10, 100 e 1000 anos. Para isso, vamos usar a distribuição de Gumbel, que é uma ferramenta bem usada para analisar eventos extremos como enchentes. Vamos precisar da média das vazões, do desvio padrão e dos fatores de frequência fornecidos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é período de recorrência. É o intervalo de tempo esperado entre dois eventos de mesma magnitude, tipo enchentes dessa vez. Por exemplo, um período de recorrência de 10 anos significa que, em média, a enchente dessa intensidade ocorre a cada 10 anos.
A distribuição de Gumbel nos ajuda a relacionar essas probabilidades com as vazões máximas. A fórmula básica que vamos usar é:
QTr = Q + F times sigma
Onde:
  • $ Q_{\mathrm{Tr}} $ é a vazão correspondente ao período de recorrência $ \mathrm{Tr} $.
  • $ \overline{Q} $ é a média das vazões máximas anuais.
  • $ F $ é o fator de frequência para o período $ \mathrm{Tr} $.
  • $ \sigma $ é o desvio padrão das vazões.

Passo 3

Vamos calcular a vazão para um período de recorrência de 10 anos ($ \mathrm{Tr} = 10 $ anos). Já temos o fator de frequência para esse período, que é $ 1,625 $, a média $ 1200 , \mathrm{m}^3/\mathrm{s} $ e o desvio padrão $ 400 , \mathrm{m}^3/\mathrm{s} $.
Aplicando a fórmula:
Tr = 10
1,625

Passo 4

Agora, vamos ao período de recorrência de 100 anos ($ \mathrm{Tr} = 100 $ anos). O fator de frequência para esse período é $ 3,836 $.
Usando a mesma fórmula:
Tr = 100
3,836

Passo 5

Por último, precisamos calcular a vazão para um período de recorrência de 1000 anos ($ \mathrm{Tr} = 1000 $ anos). Embora o fator de frequência para esse período não tenha sido fornecido diretamente, podemos usar a fórmula da distribuição de Gumbel para encontrá-lo:
Tr = 1000
Substituindo $ \mathrm{Tr} = 1000 $:
F = -ln(-ln(1 - 1Tr))
Agora, aplicando a fórmula da vazão:
Tr = 1000
F1000 = -ln(-ln(1 - 11000)) approx 5,385

Resposta

As vazões de enchente correspondentes aos períodos de recorrência solicitados são:
  • 10 anos: $ 1850 , \mathrm{m}^3/\mathrm{s} $
  • 100 anos: $ 2734,4 , \mathrm{m}^3/\mathrm{s} $
  • 1000 anos: $ 3354 , \mathrm{m}^3/\mathrm{s} $

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