A aplicação do método de Gumbel a um local que dispunha de 20 anos de observações permitiu avaliar em 3600 m^3 / s a cheia decenal, e em 6000 m^3 / s a cheia centenal. Se no ano seguinte ocorreu uma cheia de 8000 m^3 / s, quais são as novas avaliações das cheias decenal e centenal?

Passo 1

Então, vamos lá! A questão fala sobre o método de Gumbel, que é usado para prever eventos extremos, como cheias de rios. Temos 20 anos de dados onde a cheia decenal foi de 3600 , m^3/s e a cheia centenal foi de 6000 , m^3/s. No ano seguinte, aconteceu uma cheia maior de 8000 , m^3/s. Nosso objetivo é recalcular os valores das cheias decenal e centenal com essa nova observação.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significam os termos “cheia decenal” e “cheia centenal”. Uma cheia decenal é aquela que tem uma probabilidade de ocorrer uma vez a cada 10 anos, e a centenal, uma vez a cada 100 anos. O método de Gumbel nos ajuda a modelar essas probabilidades usando uma distribuição estatística.

Passo 3

Vamos usar a função de distribuição acumulada do método de Gumbel, que é:
F(x) = exp(-exp(-x - mubeta))
Onde:
  • F(x) é a probabilidade acumulada.
  • mu e beta são parâmetros que ajustam a distribuição aos dados.

Passo 4

Primeiro, vamos determinar os parâmetros mu e beta usando as cheias decenal e centenal fornecidas.
Para a cheia decenal ( F = 0,1):
0,1 = exp(-exp(-3600 - mubeta))
Para a cheia centenal ( F = 0,01):
0,01 = exp(-exp(-6000 - mubeta))

Passo 5

Vamos resolver essas equações para encontrar mu e beta. Primeiro, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
Para a cheia decenal:
ln(-ln(0,1)) = 3600 - mubeta
Para a cheia centenal:
ln(-ln(0,01)) = 6000 - mubeta
Calculando os valores:
ln(-ln(0,1)) approx 1,745
ln(-ln(0,01)) approx 3,719

Passo 6

Temos agora duas equações:
1,745 = 3600 - mubeta
3,719 = 6000 - mubeta
Podemos resolver esse sistema de equações subtraindo a primeira da segunda:
3,719 - 1,745 = 6000 - mubeta - 3600 - mubeta
1,974 = 2400beta
beta = 24001,974 approx 1215,93

Passo 7

Agora, usamos o valor de beta para encontrar mu substituindo na primeira equação:
1,745 = 3600 - mu1215,93
3600 - mu = 1,745 times 1215,93 approx 2121,80
mu = 3600 - 2121,80 approx 1478,20

Passo 8

Com os parâmetros mu approx 1478,20 e beta approx 1215,93, vamos agora recalcular as cheias decenal e centenal considerando a nova observação de 8000 , m^3/s.
Usamos a mesma função de distribuição do Gumbel para encontrar os novos valores.

Passo 9

Para encontrar a nova cheia decenal ( F = 0,1):
0,1 = exp(-exp(-X10 - 1478,201215,93))
Resolvendo:
ln(-ln(0,1)) = X10 - 1478,201215,93
1,745 = X10 - 1478,201215,93
X10 = 1,745 times 1215,93 + 1478,20 approx 3600 , m^3/s
Para a cheia centenal ( F = 0,01):
0,01 = exp(-exp(-X100 - 1478,201215,93))
Resolvendo:
3,719 = X100 - 1478,201215,93
X100 = 3,719 times 1215,93 + 1478,20 approx 6000 , m^3/s

Resposta

Após a ocorrência da cheia de 8000 , m^3/s, as novas avaliações das cheias permanecem iguais: a cheia decenal continua sendo 3600 , m^3/s e a cheia centenal 6000 , m^3/s.

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