A aplicação do método de Gumbel a um local que dispunha de 20 anos de observações permitiu avaliar em
a cheia decenal, e em
a cheia centenal. Se no ano seguinte ocorreu uma cheia de
, quais são as novas avaliações das cheias decenal e centenal?
Passo 1
Então, vamos lá! A questão fala sobre o método de Gumbel, que é usado para prever eventos extremos, como cheias de rios. Temos 20 anos de dados onde a cheia decenal foi de
e a cheia centenal foi de
. No ano seguinte, aconteceu uma cheia maior de
. Nosso objetivo é recalcular os valores das cheias decenal e centenal com essa nova observação.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significam os termos “cheia decenal” e “cheia centenal”. Uma cheia decenal é aquela que tem uma probabilidade de ocorrer uma vez a cada 10 anos, e a centenal, uma vez a cada 100 anos. O método de Gumbel nos ajuda a modelar essas probabilidades usando uma distribuição estatística.
Passo 3
Vamos usar a função de distribuição acumulada do método de Gumbel, que é:
Onde:
-
é a probabilidade acumulada. -
e são parâmetros que ajustam a distribuição aos dados.
Passo 4
Primeiro, vamos determinar os parâmetros
e
usando as cheias decenal e centenal fornecidas.
Para a cheia decenal (
):
Para a cheia centenal (
):
Passo 5
Vamos resolver essas equações para encontrar
e
. Primeiro, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
Para a cheia decenal:
Para a cheia centenal:
Calculando os valores:
Passo 6
Temos agora duas equações:
Podemos resolver esse sistema de equações subtraindo a primeira da segunda:
Passo 7
Agora, usamos o valor de
para encontrar
substituindo na primeira equação:
Passo 8
Com os parâmetros
e
, vamos agora recalcular as cheias decenal e centenal considerando a nova observação de
.
Usamos a mesma função de distribuição do Gumbel para encontrar os novos valores.
Passo 9
Para encontrar a nova cheia decenal (
):
Resolvendo:
Para a cheia centenal (
):
Resolvendo:
Resposta
Após a ocorrência da cheia de
, as novas avaliações das cheias permanecem iguais: a cheia decenal continua sendo
e a cheia centenal
.