Analise a série a seguir usando o Critério (Teste) da Comparação.
sumn=1^infty 2+cos nn^2

Passo 1

Beleza, vamos analisar essa série:
sumn=1^infty 2+cos nn^2
Vamos usar o Critério da Comparação para ver se essa série converge ou não. Para isso, vamos comparar com uma série que a gente já conhece.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Critério da Comparação. Esse critério serve para determinar a convergência ou divergência de uma série comparando seus termos com os de outra série conhecida. Se a série comparada for maior que uma série convergente, a série original também converge.

Passo 3

Olha só, na nossa série, o numerador é 1 <= 2 + cos n <= 3 . Sabemos que varia entre -1 e 1. Então, o menor valor que pode ter é e o maior é . Portanto, temos:

Passo 4

Dividindo tudo por 1n^2 <= 2 + cos nn^2 <= 3n^2 , temos:
Agora, vamos comparar nossa série com a série .

Passo 5

Sabemos que a série é uma série p com , que é maior que 1. Essa série é convergente. Como é menor ou igual a , que também é uma série p convergente, podemos concluir pela comparação que nossa série também converge.

Resposta

A série converge pelo Critério da Comparação.

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