Resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes a determinar.
y'' - y' + 1/4 y = 3 + e^(x / 2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método dos coeficientes a determinar. A equação que temos é:
Aqui, vamos precisar trabalhar com equações diferenciais lineares de segunda ordem e encontrar uma solução geral que inclui tanto a solução da equação homogênea quanto uma solução particular para o lado direito não homogêneo.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
Para resolver isso, assumimos uma solução da forma , onde r é uma constante que precisamos encontrar.

Passo 3

Substituindo na equação homogênea, temos:
Dividindo ambos os lados por (que nunca é zero), ficamos com a equação característica:

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática , encontramos as raízes:
Como temos uma raiz dupla , a solução geral da equação homogênea é:

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação não homogênea:
O lado direito é composto por uma constante e uma exponencial. Para a constante, tentamos uma solução particular constante . Substituindo na equação, encontramos .
Para o termo e^(x/2), como já está presente na solução homogênea, precisamos multiplicar por x para evitar a duplicação. Então, tentamos . Substituindo e resolvendo, encontramos .
Assim, a solução particular completa é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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