Resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes a determinar.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método dos coeficientes a determinar. A equação que temos é:
Aqui, vamos precisar trabalhar com equações diferenciais lineares de segunda ordem e encontrar uma solução geral que inclui tanto a solução da equação homogênea quanto uma solução particular para o lado direito não homogêneo.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
Para resolver isso, assumimos uma solução da forma
, onde
é uma constante que precisamos encontrar.
Passo 3
Substituindo
na equação homogênea, temos:
Dividindo ambos os lados por
(que nunca é zero), ficamos com a equação característica:
Passo 4
Resolvendo a equação quadrática
, encontramos as raízes:
Como temos uma raiz dupla
, a solução geral da equação homogênea é:
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação não homogênea:
O lado direito é composto por uma constante e uma exponencial. Para a constante, tentamos uma solução particular constante
. Substituindo na equação, encontramos
.
Para o termo
, como já está presente na solução homogênea, precisamos multiplicar por
para evitar a duplicação. Então, tentamos
. Substituindo e resolvendo, encontramos
.
Assim, a solução particular completa é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.