Resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes a determinar.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método dos coeficientes a determinar. A equação que temos é:
Aqui, vamos precisar trabalhar com equações diferenciais lineares de segunda ordem e encontrar uma solução geral que inclui tanto a solução da equação homogênea quanto uma solução particular para o lado direito não homogêneo.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
Para resolver isso, assumimos uma solução da forma
, onde
é uma constante que precisamos encontrar.
Passo 3
Substituindo
na equação homogênea, temos:
Dividindo ambos os lados por
(que nunca é zero), ficamos com a equação característica:
Passo 4
Resolvendo a equação quadrática
, encontramos as raízes:
Como temos uma raiz dupla
, a solução geral da equação homogênea é:
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação não homogênea:
O lado direito é composto por uma constante e uma exponencial. Para a constante, tentamos uma solução particular constante
. Substituindo na equação, encontramos
.
Para o termo
, como já está presente na solução homogênea, precisamos multiplicar por
para evitar a duplicação. Então, tentamos
. Substituindo e resolvendo, encontramos
.
Assim, a solução particular completa é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
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Resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes a determinar.
Em
de janeiro, José comprou um carro usado por
, para pagamento como se segue:
de entrada, o saldo em 36 pagamentos mensais iguais. O primeiro pagamento vence em
de fevereiro; a taxa anual de juro é
, capitalizada mensalmente.
b. Tendo ganho dinheiro o suficiente durante o inverno, José decidiu quitar a dívida do carro em de outubro. Quanto José deve nesta data?
b. Tendo ganho dinheiro o suficiente durante o inverno, José decidiu quitar a dívida do carro em
Use o método dos coeficientes a determinar para encontrar uma solução particular para
.
Analise a série a seguir usando o Critério (Teste) da Comparação.