Calcule a integral dupla , sendo que é a região circular

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que pede para calcular . A região é um círculo definido por . Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo integral, especificamente integrais duplas em coordenadas cartesianas e depois converter para coordenadas polares para facilitar a conta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . A equação representa um círculo. Para simplificar, completamos o quadrado:
Então, é um círculo de raio 2 com centro em .

Passo 3

Agora, vamos mudar para coordenadas polares para facilitar a integração. Porém, como o círculo não está centrado na origem, fazemos uma mudança de variável: e . Assim, a região se transforma em:
A integral fica:

Passo 4

Expandindo a expressão dentro da integral:
Portanto, a integral é:

Passo 5

Convertendo para coordenadas polares ( , ), a integral se torna:

Passo 6

Integrando em relação a :
Portanto, a integral simplifica para:

Passo 7

Agora, integramos em relação a :

Passo 8

Somando as partes:

Resposta

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, onde é dada por
, onde é dada por