Calcule a integral dupla
, sendo que
é a região circular
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla que pede para calcular
. A região
é um círculo definido por
. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo integral, especificamente integrais duplas em coordenadas cartesianas e depois converter para coordenadas polares para facilitar a conta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
. A equação
representa um círculo. Para simplificar, completamos o quadrado:
Então,
é um círculo de raio 2 com centro em
.
Passo 3
Agora, vamos mudar para coordenadas polares para facilitar a integração. Porém, como o círculo não está centrado na origem, fazemos uma mudança de variável:
e
. Assim, a região
se transforma em:
A integral fica:
Passo 4
Expandindo a expressão dentro da integral:
Portanto, a integral é:
Passo 5
Convertendo para coordenadas polares (
,
), a integral se torna:
Passo 6
Integrando em relação a
:
Portanto, a integral simplifica para:
Passo 7
Agora, integramos em relação a
:
Passo 8
Somando as partes:
Resposta
Exercícios relacionados
Analise a série a seguir usando o Critério (Teste) da Comparação.
Use o método dos coeficientes a determinar para encontrar uma solução particular para
.