Calcule a integral dupla integral duplaB 5 x^2+5 y^2 d x d y, sendo que B é a região circular x^2+ y^2+4 x <= 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que pede para calcular . A região é um círculo definido por . Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo integral, especificamente integrais duplas em coordenadas cartesianas e depois converter para coordenadas polares para facilitar a conta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região x^2 + 4x + y^2 <= 0 (x + 2)^2 - 4 + y^2 <= 0 (x + 2)^2 + y^2 <= 4 . A equação representa um círculo. Para simplificar, completamos o quadrado:
Então, é um círculo de raio 2 com centro em .

Passo 3

Agora, vamos mudar para coordenadas polares para facilitar a integração. Porém, como o círculo não está centrado na origem, fazemos uma mudança de variável: u^2 + v^2 <= 4 e integral duplau^2 + v^2 <= 4 5(u - 2)^2 + 5v^2 , du , dv . Assim, a região se transforma em:
A integral fica:

Passo 4

Expandindo a expressão dentro da integral:
5(u - 2)^2 + 5v^2 = 5u^2 - 20u + 20 + 5v^2
Portanto, a integral é:
integral duplau^2 + v^2 <= 4 (5u^2 + 5v^2 - 20u + 20) , du , dv

Passo 5

Convertendo para coordenadas polares ( integral0^2 integral0^2pi (5r^2 - 20rcostheta + 20) r , dtheta , dr , ), a integral se torna:

Passo 6

Integrando em relação a integral0^2pi costheta , dtheta = 0 :
integral0^2 (10pi r^2 + 40pi) , dr
Portanto, a integral simplifica para:

Passo 7

Agora, integramos em relação a 10pi integral0^2 r^2 , dr + 40pi integral0^2 , dr = 10pi [83] + 40pi [2] = 80pi3 + 80pi :

Passo 8

Somando as partes:
80pi3 + 240pi3 = 320pi3

Resposta

Exercícios relacionados