Use o método dos coeficientes a determinar para encontrar uma solução particular para .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar uma solução particular para a equação diferencial usando o método dos coeficientes a determinar. Isso tudo faz parte do estudo de equações diferenciais lineares de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar entender como assumir uma forma para a solução particular e depois encontrar os coeficientes que funcionam.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar o que é uma solução particular. Em equações diferenciais, a solução geral é composta pela solução da equação homogênea (sem o termo do lado direito) mais uma solução particular que resolve a equação completa. Aqui, nosso foco é encontrar essa solução particular.

Passo 3

O método dos coeficientes a determinar envolve assumir que a solução particular tem uma forma semelhante ao termo do lado direito da equação. No nosso caso, o lado direito é , então vamos assumir que a solução particular tem a forma , onde é um coeficiente que precisamos encontrar.

Passo 4

Agora, vamos derivar para encontrar e :

Passo 5

Substituímos , e na equação original:

Passo 6

Simplificamos os termos:

Passo 7

Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes:

Resposta

A solução particular é .

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