Use o método dos coeficientes a determinar para encontrar uma solução particular para
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar uma solução particular para a equação diferencial
usando o método dos coeficientes a determinar. Isso tudo faz parte do estudo de equações diferenciais lineares de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar entender como assumir uma forma para a solução particular e depois encontrar os coeficientes que funcionam.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar o que é uma solução particular. Em equações diferenciais, a solução geral é composta pela solução da equação homogênea (sem o termo do lado direito) mais uma solução particular que resolve a equação completa. Aqui, nosso foco é encontrar essa solução particular.
Passo 3
O método dos coeficientes a determinar envolve assumir que a solução particular tem uma forma semelhante ao termo do lado direito da equação. No nosso caso, o lado direito é
, então vamos assumir que a solução particular tem a forma
, onde
é um coeficiente que precisamos encontrar.
Passo 4
Agora, vamos derivar
para encontrar
e
:
Passo 5
Substituímos
,
e
na equação original:
Passo 6
Simplificamos os termos:
Passo 7
Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes:
Resposta
A solução particular é
.
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, sendo que
é a região circular